Question

已知直角三角形ABC和ADC有公共斜邊AC，M、N分別是AC，BD中點，且M、N不重合．
（1）線段MN與BD是否垂直？請說明理由；
（2）若∠BAC=30°，∠CAD=45°，AC=4，求MN的長．

Answer 1

解：（1）線段MN與BD垂直．
連接MB與MD，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長的一半，可以知道
MB=，MD=，所以MB=MD．
三角形MBD中，N是底邊上的中點，等腰三角形的性質可以說明：
MN垂直BD．

（2）如圖一：連接BM、MD，延長DM，過B作DM延長線的垂線段BE，
則可知在Rt△BEM中，∠EMB=30°，
∵AC=4，∴BM=2，
∴BE=1，EM=，MD=2，
從而可知
BD==2
∴BN=．
由Rt△BMN可得：
MN==．
如圖二：連接BM、MD，延長AD，過B作垂線段BE，
∵M、N分別是AC，BD中點，
∴MD=AC，MBAC，
∴MD=MB，
∵∠BAC=30°，∠CAD=45°，
∴∠BMC=60°，∠DMC=90°，
∴∠BMD=30°，
∴∠BDM==75°，
∵∠MDA=45°
∴∠EDB=180°-∠BDM-∠MDA=60°，
令ED=x，則BE=x，AD=2，AB=2，
∴由Rt△ABE可得：（2）²=（x）²+（x+2）²，
解得x=，則BD=2，
∵M、N分別是AC，BD中點，
∴MD=2 DN=．
由Rt△MND可得：
MN==．
分析：（1）根據題意畫出圖形，再作出輔助線構成等腰三角形，利用等腰三角形的性質進行證明；
（2）注意要分二種情況討論：即B、D在AC兩側和B、D在AC同側．
點評：本題綜合考查了等腰三角形的性質和解直角三角形的方法，同時考查了分類討論思想．