Question

【題目】如圖，以等腰△ABC的一腰AC為直徑作⊙O，交底邊BC于點D，過點D作腰AB的垂線，垂足為E，交AC的延長線于點F．

（1）求證：EF是⊙O的切線；

（2）證明：∠CAD＝∠CDF；

（3）若∠F＝30°，AD＝，求⊙O的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）π

【解析】

（1）連接OD，AD，證點D是BC的中點，由三角形中位線定理證OD∥AB，可推出∠ODF＝90°，即可得到結論；

（2）由OD＝OC得到∠ODC＝∠OCD，由∠CAD+∠OCD＝90°和∠CDF+∠ODC＝90°即可推出∠CAD＝∠CDF；

（3）由∠F＝30°得到∠DOC＝60°，推出∠DAC＝30°，在Rt△ADC中，由銳角三角函數可求出AC的長，推出⊙O的半徑，即可求出⊙O的面積．

解:（1）證明：如圖，連接OD，AD，

∵AC是直徑，

∴∠ADC＝90°，即AD⊥BC，

又AB＝AC，

∴BD＝CD，

又AO＝CO，

∴OD∥AB，

又FE⊥AB，

∴FE⊥OD，

∴EF是⊙O的切線；

（2）∵OD＝OC，

∴∠ODC＝∠OCD，

∵∠ADC＝∠ODF＝90°，

∴∠CAD+∠OCD＝90°，∠CDF+∠ODC＝90°，

∴∠CAD＝∠CDF；

（3）在Rt△ODF中，∠F＝30°，

∴∠DOC＝90°﹣30°＝60°，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA＝∠DOC＝30°，

在Rt△ADC中，

AC＝ ＝＝2，

∴r＝1，

∴S⊙O＝π12＝π，

∴⊙O的面積為π．