Question

（2012•南通）如圖，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，-4）的拋物線y=

1

2

x²+bx+c與x軸相交于B（-2，0），C兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）將拋物線y=

1

2

x²+bx+c向上平移

7

2

個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線，若新拋物線的頂點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，求m的取值范圍；
（3）設(shè)點(diǎn)M在y軸上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求AM的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）該拋物線的解析式中只有兩個(gè)待定系數(shù)，只需將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可得解．
（2）首先根據(jù)平移條件表示出移動(dòng)后的函數(shù)解析式，進(jìn)而用m表示出該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入直線AB、AC的解析式中，即可確定P在△ABC內(nèi)時(shí)m的取值范圍．
（3）先在OA上取點(diǎn)N，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB即可，顯然在y軸的正負(fù)半軸上都有一個(gè)符合條件的M點(diǎn)；以y軸正半軸上的點(diǎn)M為例，先證△ABN、△AMB相似，然后通過(guò)相關(guān)比例線段求出AM的長(zhǎng)．

解答：解：（1）將A（0，-4）、B（-2，0）代入拋物線y=

1

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x²+bx+c中，得：

0+c=-4 1 2 ×4-2b+c=0

，
解得：

b=-1 c=-4

故拋物線的解析式：y=

1

2

x²-x-4．

（2）由題意，新拋物線的解析式可表示為：y=

1

2

（x+m）²-（x+m）-4+

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2

，即：y=

1

2

x²+（m-1）x+

1

2

m²-m-

1

2

；
它的頂點(diǎn)坐標(biāo)P：（1-m，-1）；
由（1）的拋物線解析式可得：C（4，0）；
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），把x=4，y=0代入，
∴4k+b=0，b=-4，
∴y=x-4．
同理直線AB：y=-2x-4；
當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上時(shí)，-2（1-m）-4=-1，解得：m=

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2

；
當(dāng)點(diǎn)P在直線AC上時(shí)，（1-m）-4=-1，解得：m=-2；
∴當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)時(shí)，-2＜m＜

5

2

；
又∵m＞0，
∴符合條件的m的取值范圍：0＜m＜

5

2

．

（3）由A（0，-4）、C（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形；
如圖，在OA上取ON=OB=2，則∠ONB=∠ACB=45°；
∴∠ONB=∠NBA+∠OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，即∠NBA=∠OMB；
如圖，在△ABN、△AM₁B中，
∠BAN=∠M₁AB，∠ABN=∠AM₁B，
∴△ABN∽△AM₁B，得：AB²=AN•AM₁；
易得：AB²=（-2）²+4²=20，AN=OA-ON=4-2=2；
∴AM₁=20÷2=10；
而∠BM₁A=∠BM₂A=∠ABN，
∴OM₁=OM₂=6，AM₂=OM₂-OA=6-4=2．
綜上，AM的長(zhǎng)為10或2．

點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，該函數(shù)綜合題的難度較大，（3）題注意分類討論，通過(guò)構(gòu)建相似三角形是打開思路的關(guān)鍵所在．