Question

如圖，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分別以OA、OC所在直線為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，D是邊CB上的一個動點（不與C、B重合），反比例函數(shù)y= （k＞0）的圖象經(jīng)過點D且與邊BA交于點E，連接DE．                                                                                                      

（1）連接OE，若△EOA的面積為2，則k=　   　；                                                                      

（2）連接CA，請問DE與CA是否平行？請說明理由；                                                                   

（3）是否存在點D，使得點B關于DE的對稱點在OC上？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．                                                                                                                

             

Answer 1

解：（1）連接OE，如，圖1，

∵Rt△AOE的面積為2，     ∴k=2×2=4．………………3分

（2）連接AC，如圖1，設D（x，5），E（3，），則BD=3﹣x，BE=5﹣，

=，

∴        ∴DE∥AC．………………6分

（3）假設存在點D滿足條件．設D（x，5），E（3，），則CD=x，

BD=3﹣x，BE=5﹣，AE=．

作EF⊥OC，垂足為F，如圖2，

易證△B′CD∽△EFB′，

∴，即=，

∴B′F=，

∴OB′=B′F+OF=B′F+AE=+=，

∴CB′=OC﹣OB′=5﹣，

在Rt△B′CD中，CB′=5﹣，CD=x，B′D=BD=3﹣x，

由勾股定理得，CB′²+CD²=B′D²，

（5﹣）²+x²=（3﹣x）²，

解這個方程得，x₁=1.5（舍去），x₂=0.96，

∴滿足條件的點D存在，D的坐標為D（0.96，5）．………………10分