【題目】如圖,直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A( , )和B(4,m),點(diǎn)P是線段AB上異于A、B的動點(diǎn),過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)D,交拋物線于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式;
(2)是否存在這樣的P點(diǎn),使線段PC的長有最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由;
(3)求△PAC為直角三角形時點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:∵B(4,m)在直線y=x+2上,

∴m=4+2=6,

∴B(4,6),

∵A( , )、B(4,6)在拋物線y=ax2+bx+6上,

,解得 ,

∴拋物線的解析式為y=2x2﹣8x+6


(2)

解:設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為(n,n+2),則C點(diǎn)的坐標(biāo)為(n,2n2﹣8n+6),

∴PC=(n+2)﹣(2n2﹣8n+6),

=﹣2n2+9n﹣4,

=﹣2(n﹣ 2+ ,

∵PC>0,

∴當(dāng)n= 時,線段PC最大且為


(3)

解:∵△PAC為直角三角形,

i)若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn),則∠APC=90°.

由題意易知,PC∥y軸,∠APC=45°,因此這種情形不存在;

ii)若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn),則∠PAC=90°.

如答圖3﹣1,過點(diǎn)A( , )作AN⊥x軸于點(diǎn)N,則ON= ,AN=

過點(diǎn)A作AM⊥直線AB,交x軸于點(diǎn)M,則由題意易知,△AMN為等腰直角三角形,

∴MN=AN= ,∴OM=ON+MN= + =3,

∴M(3,0).

設(shè)直線AM的解析式為:y=kx+b,

則: ,解得 ,

∴直線AM的解析式為:y=﹣x+3 ①

又拋物線的解析式為:y=2x2﹣8x+6 ②

聯(lián)立①②式,解得:x=3或x= (與點(diǎn)A重合,舍去)

∴C(3,0),即點(diǎn)C、M點(diǎn)重合.

當(dāng)x=3時,y=x+2=5,

∴P1(3,5);

iii)若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn),則∠ACP=90°.

∵y=2x2﹣8x+6=2(x﹣2)2﹣2,

∴拋物線的對稱軸為直線x=2.

如答圖3﹣2,作點(diǎn)A( , )關(guān)于對稱軸x=2的對稱點(diǎn)C,

則點(diǎn)C在拋物線上,且C( ).

當(dāng)x= 時,y=x+2=

∴P2 , ).

∵點(diǎn)P1(3,5)、P2 )均在線段AB上,

∴綜上所述,△PAC為直角三角形時,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,5)或( ,


【解析】(1)已知B(4,m)在直線y=x+2上,可求得m的值,拋物線圖象上的A、B兩點(diǎn)坐標(biāo),可將其代入拋物線的解析式中,通過聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值.(2)要弄清PC的長,實(shí)際是直線AB與拋物線函數(shù)值的差.可設(shè)出P點(diǎn)橫坐標(biāo),根據(jù)直線AB和拋物線的解析式表示出P、C的縱坐標(biāo),進(jìn)而得到關(guān)于PC與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出PC的最大值.(3)當(dāng)△PAC為直角三角形時,根據(jù)直角頂點(diǎn)的不同,有三種情形,需要分類討論,分別求解.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn);增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減。

練習(xí)冊系列答案
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(1)甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成各需多少天?

(2)施工過程中,開發(fā)商派兩名工程師全程監(jiān)督,需支付每人每天食宿費(fèi)150元.已知乙隊(duì)單獨(dú)施工,開發(fā)商每天需支付施工費(fèi)為10000元.現(xiàn)從甲、乙兩隊(duì)中選一隊(duì)單獨(dú)施工,若要使開發(fā)商選甲隊(duì)支付的總費(fèi)用不超過選乙隊(duì)的,則甲隊(duì)每天的施工費(fèi)最多為多少元?(總費(fèi)用=施工費(fèi)+工程師食宿費(fèi))

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A.2
B.3
C.4
D.5

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(1)如果這艘船不改變航向,那么它會不會進(jìn)入臺風(fēng)影響區(qū)?

(2)如果你認(rèn)為這艘輪船會進(jìn)入臺風(fēng)影響區(qū),那么從接到警報(bào)開始,經(jīng)過多長時間它就會進(jìn)入臺風(fēng)影響區(qū)?

(3)假設(shè)輪船航向不變,輪船航行速度不變,求受到臺風(fēng)影響的時間為多少小時?

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A.平均數(shù)是26
B.眾數(shù)是26
C.中位數(shù)是27
D.方差是

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【題目】在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是對角線AC上任意一點(diǎn),F(xiàn)是線段BC延長線上一點(diǎn),且CF=AE,連接BE、EF.

(1)如圖1,當(dāng)E是線段AC的中點(diǎn)時,求證:BE=EF.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E不是線段AC的中點(diǎn),其它條件不變時,請你判斷(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,請證明;若不成立,說明理由.

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A. 45° B. 60° C. 50° D. 55°

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【題目】如圖,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC內(nèi)部的一個動點(diǎn),且滿足∠PAB=∠PBC,則線段CP長的最小值為(
A.
B.2
C.
D.

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