Question

如圖，已知直線y=x+2與兩坐標軸分別交于A、B兩點，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點A、B，P為直線AB上的一個動點，過P作x軸的垂線與拋物線交于C點．
（1）拋物線的解析式；
（2）設拋物線與x軸另一個交點為D，連接AD，證明：△ABD為直角三角形；
（3）在直線AB上是否存在一點P，使得以O、A、P、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令一次函數(shù)y=x+2中x=0，求出對應y的值，即為A的縱坐標，令y=0，求出對應x的值，即為B的橫坐標，確定出A和B的坐標，將A和B的坐標代入y=x²+bx+c中，得到關于b與c的方程組，求出方程組的解集得到b和c的值，確定出拋物線的解析式；
（2）連接AD，如圖所示，由拋物線的解析式，令y=0求出x的值，得到D的橫坐標，確定出OD的長，在直角三角形AOD中，由AO及OD的長，利用勾股定理求出AD的長，再由OD+OB求出BD的長，在直角三角形AOB中，由OA與OB的長，利用勾股定理求出AB的長，由AD，AB及BD的長，得到BD²=AB²+AD²，利用勾股定理的逆定理得到三角形ABD為直角三角形；
（3）存在，由P為直線上的點設出點P的坐標，P與C的橫坐標相同，進而由C在拋物線上確定出C的坐標，分三種情況考慮：當P在第一象限時，畫出相應的圖形，如圖所示，根據(jù)平行四邊形的對邊相等，得到OA=CP，由OA的長得到CP的長，即為C與P縱坐標之差，列出關于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，確定出此時P的坐標；當P在第二象限時，如圖所示，根據(jù)平行四邊形的對邊相等得到OA=PC，由OA的長得到CP的長，即為P與C的縱坐標之差，列出關于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，確定出此時P的坐標；當P在第四象限時，如圖所示，根據(jù)平行四邊形的對邊相等得到OA=PC，由OA的長得到CP的長，即為P與C的縱坐標之差，列出關于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，確定出此時P的坐標，綜上，得到所有滿足題意的P的坐標．
解答：解：（1）∵直線y=x+2與x軸交于點B，
∴令y=0得x+2=0，解得x=4，
∴點B的坐標為（4，0），
∵直線y=x+2與y軸交于點A，
∴令x=0，解得y=2，
∴點A的坐標為（0，2），
∵拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點A、B，
∴把（0，2），（4，0）分別代入y=x²+bx+c得：，
解得，
∴拋物線的解析式為y=-x²+x+2；

（2）連接AD，如圖所示：

∵拋物線與x軸另一個交點為D，
∴令y=0得-x²+x+2=0，解得x₁=4，x₂=-1，
又點D在x軸的負半軸上，
∴點D的坐標為（-1，0），
在直角三角形AOB中，OA=2，OB=4，
根據(jù)勾股定理得：AB²=2²+4²=20，
在直角三角形AOD中，OA=2，OD=1，
根據(jù)勾股定理得：AD²=2²+1²=5，
又BD²=（OD+OB）²=（1+4）²=25，
∴BD²=AB²+AD²，
則△ABD為直角三角形；

（3）設點P的坐標為（x，-x+2），
∵PC⊥x軸，
∴點C的橫坐標為x，又點C在拋物線上，
∴點C（x，-x²+x+2），
①當點P在第一象限時，假設存在這樣的點P，使AOPC為平行四邊形，

則OA=PC=2，即-x²+x+2-（-x+2）=2，
化簡得：x²-4x+4=0，
解得x=2或x=-2（舍去）
把x=2代入y=-x+2=1，
則點P的坐標為（2，1）；
②當點P在第二象限時，假設存在這樣的點P，使AOCP為平行四邊形，

則OA=PC=2，即-x+2-（-x²+x+2）=2，
化簡得：x²-4x-4=0，
解得：x=2+2（舍去）或x=2-2，
把x=2-2代入y=-x+2=1+，
則點P的坐標為（2-2，1+）；
③當點P在第四象限時，假設存在這樣的點P，使AOCP為平行四邊形，

則OA=PC=2，即-x+2-（-x²+x+2）=2，
化簡得：x²-4x-4=0，
解得：x=2+2或x=2-2（舍去），
把x=2+2代入y=-x+2=1-，
則點P的坐標為（2+2，1-），
綜上，使以O、A、P、C為頂點的四邊形是平行四邊形，
滿足的點P的坐標為（2，1）；（2-2，1+）；（2+2，1-）．
點評：此題屬于二次函數(shù)的綜合題，結(jié)合了平行四邊形的性質(zhì)，二元一次方程組，及坐標系的有關知識為一體，考查了學生綜合解決問題的能力，同時體現(xiàn)了分類討論的思想，分類思想是一種重要的數(shù)學思想方法，在分類討論、分情況證明數(shù)學命題時，必須認真審題，全面考慮．做到不重不漏，一次分類必須按照統(tǒng)一標準進行，分出的每一部分都是相互獨立的，分類思想一般根據(jù)數(shù)量差異與位置差異進行分類．