Question

【題目】定義：若經(jīng)過三角形頂點(diǎn)的一條直線把三角形分割出至少一個(gè)圖形與原三角形相似，則稱這條直線為三角形的自似線，如圖，△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠C＜∠B＜∠A，過頂點(diǎn)A作∠CAD1＝∠B，交邊BC于點(diǎn)D1，依次過頂點(diǎn)D1作∠CD1D2＝∠CAD1，過點(diǎn)D2作∠CD2D3＝∠CD1D2，…，過點(diǎn)Dn－1作∠CDn－1Dn＝∠CDn－2Dn－1.

(1)試證直線AD1是△ABC的自似線；

(2)試求線段CD1的長(zhǎng)，并猜想CDn的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)60°＜∠A＜120°，且n＝5時(shí)，與△ABC相似的三角形有幾個(gè)？

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) CD1=， ；(3)當(dāng)∠ A＝90°時(shí)，與△ABC相似的三角形有10個(gè)；當(dāng)∠ A≠90°時(shí)，與△ABC相似的三角形有5個(gè)．　

【解析】

(1)由∠C＝∠ C，∠CAD1＝∠ B，得△CAD1∽△CBA，即直線AD1是△ABC的自似線．

(2)由(1)得△CAD1∽△CBA，, 可得CD1=，.

(3)畫圖可知當(dāng)∠ A＝90°時(shí)，與△ABC相似的三角形有10個(gè)；當(dāng)∠ A≠90°時(shí)，與△ABC相似的三角形有5個(gè)．

(1)證明：∵∠C＝∠ C，∠CAD1＝∠ B，

∴△CAD1∽△CBA，

∴直線AD1是△ABC的自似線．　

(2)由(1)得△CAD1∽△CBA，

∴,

∴CD1=， .

(3)當(dāng)∠ A＝90°時(shí)，與△ABC相似的三角形有10個(gè)；當(dāng)∠ A≠90°時(shí)，與△ABC相似的三角形有5個(gè)．