【題目】如圖,在梯形ABCD中,∠ABC=∠BAC=90°,在AD上取一點E,將△ABE沿直線BE折疊,使點A落在BD上的G處,EG的延長線交直線BC于點F.
(1)試探究AE、ED、DG之間有何數(shù)量關(guān)系?說明理由;
(2)判斷△ABG與△BFE是否相似,并對結(jié)論給予證明;
(3)設(shè)AD=a,AB=b,BC=c.
①當(dāng)四邊形EFCD為平行四邊形時,求a、b、c應(yīng)滿足的關(guān)系;
②在①的條件下,當(dāng)b=2時,a的值是唯一的,求∠C的度數(shù).
【答案】(1)AE2+DG2=ED2,理由見解析;(2)△ABG∽△BFE,理由見解析;(3)①a2+b2=ac;②∠C=45°.
【解析】試題分析:(1)由折疊得到∠EGB=∠EAB=90°,再利用勾股定理即可;
(2)先判斷△EAB≌△EGB,然后∠ABG=∠EFB和∠BAG=∠FBE,即得等到結(jié)論;
(3)由(2)中的結(jié)論△ABG∽△BFE得出結(jié)論,再判定出△ABD∽△HCD得出比例式,就找到結(jié)論,再由根與系數(shù)的關(guān)系,判斷計算即可.
試題解析:(1)AE2+DG2=ED2;
理由:據(jù)折疊性質(zhì)得:△EAB≌△EGB,AE=GE,∠EGB=∠EAB=90°,
∴在Rt△EGD中,由勾股定理得:EG2+DG2=ED2,
∴AE2+DG2=ED2;
(2)△ABG∽△BFE.
理由:∵∠ABC=∠BAC=90°,∴AD∥BC,∴∠AEB=∠EBF,
∵△EAB≌△EGB,∠AEB=∠BEG,∴∠EBF=∠BEF,∴FE=FB,即△FEB為等腰三角形,
∵∠ABG+∠GBF=90°,∠GBF+∠EFB=90°,∴∠ABG=∠EFB,
在等腰△ABG和△FEB中,∠BAG=(180°-∠ABG)÷2,∠FBE=(180°-∠EFB)÷2,
∴∠BAG=∠FBE,
∴△ABG∽△BFE;
(3)①∵△ABG∽△BFE,∴∠EFB=∠GBA,∴∠C=∠ABG,
∵∠DAB=∠DHC=90°,∴△ABD∽△HCD,∴ ,
∴ ,∴a2+b2=ac;
②當(dāng)b=2時,設(shè)關(guān)于a的一元二次方程a2﹣ac+22=0的兩根為a1,a2,
得:a1a2=c>0,a1+a2=4>0,∴a1>0,a2>0,
由題意a1=a2,∴△=0,即c2﹣16=0,
∵c>0,∴c=4,∴a=2,∴H為BC中點,且ABHD為正方形,∴DH=HC,
∴∠C=45°.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=BC,點E在邊AB上,EF⊥AC于F.
(1)尺規(guī)作圖:過點A作AD⊥BC于點D(保留作圖痕跡,不寫作法);(2)求證:∠CAD=∠AEF;(3)若∠ABC=45°,AD與EF交于點G,求證:EG=2AF.
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【題目】如圖,一條直線分別與直線BE、直線CE、直線CF、直線BF相交于點A,G,D,H且∠1=∠2,∠B=∠C
(1)找出圖中相互平行的線,說說它們之間為什么是平行的;
(2)證明:∠A=∠D.
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【題目】如圖,正方形網(wǎng)格中每個小正方形邊長都是1.
(1)畫出△ABC關(guān)于直線1對稱的圖形△A1BlCl;
(2)在直線l上找一點P,使PB=PC;(要求在直線1上標(biāo)出點P的位置)
(3)連接PA、PC,計算四邊形PABC的面積.
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【題目】在正方形ABCD中,E為CD上一點,F為BC延長線上一點,且CE=CF.
(1)求證:△BCE≌△DCF;
(2)若∠FDC=30°,求∠BEF的度數(shù).
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【題目】下列各式:①2x=2;②x=y;③﹣3﹣3=﹣6;④x+3x;⑤x﹣1=2x﹣3中,一元一次方程有( 。
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
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【題目】如圖,矩形ABCD中,DE⊥AC于點E,∠EDC:∠EDA=1:3,且AC=12,則DE的長度是______(結(jié)果用根號表示).
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【題目】搬進新居后,小杰自己動手用彩塑紙做了一個如圖所示的正方形的掛式小飾品ABCD,彩線BD.AN.CM將正方形ABCD分成六部分,其中M是AB的中點,N是BC的中點,AN與CM交于O點.已知正方形ABCD的面積為576cm2,則被分隔開的△CON的面積為( 。
A. 96cm2 B. 48cm2 C. 24cm2 D. 以上都不對
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【題目】如圖,P是拋物線y=2(x﹣2)2對稱軸上的一個動點,直線x=t平行y軸,分別與y=x、拋物線交于點A、B.若△ABP是以點A或點B為直角頂點的等腰直角三角形,求滿足條件的t的值,則t= .
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