Question

如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上（端點(diǎn)除外）的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC.設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E,交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F，連接AE、AF。
（1）那么當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并說明理由。
（2）在(1)的前提下△ABC滿足什么條件,四邊形AECF是正方形？(直接寫出答案,無需證明)。

Answer 1

（1）當(dāng)O運(yùn)動到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，理由詳見解析. (2)當(dāng)△ABC為直角三角形且∠BCA=90°時(shí)四邊形AECF是正方形，理由詳見解析.

試題分析：根據(jù)矩形的判定定理選擇合適的判定方法，巧妙運(yùn)用平行線和角平分線即可解答.
（1）當(dāng)O運(yùn)動到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形.
證明：如圖所示∵O運(yùn)動到AC中點(diǎn)，∴OA=OC=，∵M(jìn)N∥BC，∴∠1=∠2(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)∵CF為∠BCA的外角平分線∴∠1=∠3，∴∠2=∠3∴OF=OC（△COF為等腰三角形），同理可得OE=OC
∵OA=OC，OF=OC，OE=OC∴OA=OC=OE=OF即EF、AC相互平分，且AC=EF，∴四邊形AECF是矩形.（兩對角線相互平分且相等）.
(2)當(dāng)△ABC為直角三角形且∠BCA=90°時(shí)四邊形AECF是正方形.
證明∵M(jìn)N∥BC∴∠AOE=∠BCA=90°即AC⊥EF，又∵四邊形AECF是矩形，∴四邊形AECF是正方形（矩形判定定理：對角線互相垂直的矩形是正方形）.