Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c過點A(3，0)，B(1，0)，交y軸于點C，點P是該拋物線上一動點，點P從C點沿拋物線向A點運動(點P不與A重合)，過點P作PD∥y軸交直線AC于點D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求點P在運動的過程中線段PD長度的最大值；

（3）△APD能否構(gòu)成直角三角形？若能，請直接寫出所有符合條件的點P坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2-4x＋3；（2）點P在運動的過程中，線段PD長度的最大值為；（3）能，點P的坐標(biāo)為：(1，0)或（2，-1）．

【解析】

（1）把點A、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，解方程組得到b、c的值，即可得解；

（2）求出點C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，再根據(jù)拋物線解析式設(shè)出點P的坐標(biāo)，然后表示出PD的長度，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；

（3）分情況討論①∠APD是直角時，點P與點B重合，②求出拋物線頂點坐標(biāo)，然后判斷出點P為在拋物線頂點時，∠PAD是直角，分別寫出點P的坐標(biāo)即可；

（1）把點A(3，0)和點B(1，0)代入拋物線y＝x2＋bx＋c，

得：

解得

∴y＝x2-4x＋3．

（2）把x＝0代入y＝x2-4x＋3，得y＝3．

∴C(0，3)．

又∵A(3，0)，

設(shè)直線AC的解析式為：y＝kx＋m，

把點A，C的坐標(biāo)代入得：

∴直線AC的解析式為：y＝－x＋3．

PD＝-x＋3- (x2-4x＋3)＝-x2＋3x＝＋．

∵0<x<3，

∴x＝時，PD最大為．

即點P在運動的過程中，線段PD長度的最大值為．

（3）①∠APD是直角時，點P與點B重合，

此時，點P（1，0），

②∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，﹣1），

∵A（3，0），

∴點P為在拋物線頂點時，∠PAD＝45°+45°＝90°，

此時，點P（2，﹣1），

綜上所述，點P（1，0）或（2，﹣1）時，△APD能構(gòu)成直角三角形；