Question

如圖，∠BAD=∠BDA=15°，∠CAD=45°，∠CDA=30°，試判斷三角形ABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：∵∠BAD=∠BDA=15°，∴AB=DB，因此首先將△ABC繞B點旋轉(zhuǎn)，使A點與D點重合，得△ABC′，連接CC′，則得到△ABC≌△ABC′，再由角的關(guān)系及等腰三角形的性質(zhì)證明△ACD≌△C′DC，△ABD≌△CBC′，得出∠ACB=∠BAC=∠ABC=60°，從而得證．
解答：解：三角形ABC為等邊三角形；  理由：∵∠BAD=∠BDA=15°，∴AB=DB，
因此將△ABC繞B點旋轉(zhuǎn)，使A點與D點重合，連接CC′，
則△ABC≌△ABC′，
∴BC=BC′，AC=DC′，∠BDC=∠BAC，∠ABC=∠DBC′，
∵∠BAD=∠BDA=15°，∠CAD=45°，∠CDA=30°，
∴∠CDC′=∠CDA+∠BDA+∠BDC′=∠CDA+∠BDA+∠ABC=∠CDA+∠BDA+∠CAD+∠BAD=30°+15°+45°+15°=105°，
∴∠ACD=180°-∠CAD-∠CDA=180°-45°-30°=105°，
又CD=CD，
∴△ACD≌△C′DC，
∴AD=CC′，
∠CBC′=∠DBC′+∠CBD，∠ABD=∠ABC+∠CBD，
∵∠ABC=∠DBC′，
∴∠CBC′=∠ABD=180°-15°-15°=150°，
∴∠BCC′=∠BC′C=15°，
∴△ABD≌△CBC′，
∴AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC=∠BAD+∠CAD=15°+45°=60°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC為等邊三角形．
點評：此題考查的知識點是等邊三角形的判定，關(guān)鍵是通過旋轉(zhuǎn)三角形及證明∴△ACD≌△C′DC和△ABD≌△CBC′得出結(jié)論．