【題目】A(0,4)是直角坐標(biāo)系y軸上一點(diǎn),P是x軸上一動(dòng)點(diǎn),從原點(diǎn)O出發(fā),沿正半軸運(yùn)動(dòng),速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,以P為直角頂點(diǎn)在第一象限內(nèi)作等腰Rt△APB.設(shè)P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)若AB∥x軸,求t的值;
(2)設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x,y),試求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;
(3)當(dāng)t=3時(shí),平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)M(3,a),請(qǐng)直接寫(xiě)出使△APM為等腰三角形的點(diǎn)M的坐標(biāo).
【答案】
(1)
解:過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C,如圖1所示.
∵AO⊥x軸,BC⊥x軸,且AB∥x軸,
∴四邊形ABCO為長(zhǎng)方形,
∴AO=BC=4.
∵△APB為等腰直角三角形,
∴AP=BP,∠PAB=∠PBA=45°,
∴∠OAP=90°﹣∠PAB=45°,
∴△AOP為等腰直角三角形,
∴OA=OP=4.
t=4÷1=4(秒),
故t的值為4
(2)
解:∵△APB為等腰直角三角形,
∴∠APO+∠BPC=180°﹣90°=90°.
又∵∠PAO+∠APO=90°,
∴∠PAO=∠BPC.
在△PAO和△BPC中, ,
∴△PAO≌△BPC,
∴AO=PC,BC=PO.
∵點(diǎn)A(0,4),點(diǎn)P(t,0),點(diǎn)B(x,y),
∴PC=AO=4,BC=PO=t=y,CO=PC+PO=4+y=x,
∴y=x﹣4
(3)
解:△APM為等腰三角形分三種情況:
①當(dāng)AM=AP時(shí),如圖2所示.
當(dāng)t=3時(shí),點(diǎn)P(3,0),
∵點(diǎn)M(3,a),點(diǎn)A(0,4),
∴由兩點(diǎn)間的距離公式可知:
AM= ,AP= =5,
∴ =5,解得:a=0(舍去),a=8.
此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,8);
②當(dāng)MA=MP時(shí),如圖3所示.
∵點(diǎn)P(3,0),點(diǎn)A(0,4),點(diǎn)M(3,a),
∴由兩點(diǎn)間的距離公式可知:
MA= ,MP=a,
∴ =a,解得:a= .
此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(3, );
③當(dāng)PA=PM時(shí),如圖4所示.
∵點(diǎn)P(3,0),點(diǎn)A(0,4),點(diǎn)M(3,a),
∴由兩點(diǎn)間的距離公式可知:
PA= =5,PM=|a|,
∴a=±5.
此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,5)或(3,﹣5).
綜上可知:當(dāng)t=3時(shí),平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)M(3,a),使△APM為等腰三角形的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,8),(3, ),(3,5)和(3,﹣5)
【解析】(1)由AB∥x軸,可找出四邊形ABCO為長(zhǎng)方形,再根據(jù)△APB為等腰三角形可得知∠OAP=45°,從而得出△AOP為等腰直角三角形,由此得出結(jié)論;(2)先證出△PAO≌△BPC,即可得出各邊的關(guān)系,利用坐標(biāo)系中點(diǎn)的意義即可得出個(gè)線段的長(zhǎng)度,由相等的量可得出結(jié)論;(3)由等腰三角形的性質(zhì)可知,若△APM為等腰三角形只需找到一組臨邊相等即可,臨邊相等分三種情況,分類討論結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式即可得出結(jié)論.
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②作∠ABC的平分線BD.
③連結(jié)CD,并延長(zhǎng)交BA于F.
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(1)設(shè)購(gòu)買排球數(shù)為x(個(gè)),購(gòu)買兩種球的總費(fèi)用為y(元),請(qǐng)你寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍);
(2)如果購(gòu)買兩種球的總費(fèi)用不超過(guò)6620元,并且籃球數(shù)不少于排球數(shù)的3倍,那么有哪幾種購(gòu)買方案?
(3)從節(jié)約開(kāi)支的角度來(lái)看,你認(rèn)為采用哪種方案更合算?
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(2)若關(guān)于x、y的單項(xiàng)式cx2a+2y2與0.4xy3b+4的和為零,則a2b-[a2b-(3abc-a2c)-4a2c]-3abc的值又是多少?
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A. 60° B. 90° C. 108° D. 120°
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(1)請(qǐng)補(bǔ)全扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖;
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