Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸相交于點C．連接AC、BC，A、C兩點的坐標(biāo)分別為A（-3，0）、C（0，

3

），且當(dāng)x=-4和x=2時二次函數(shù)的函數(shù)值y相等．
（1）求實數(shù)a，b，c的值；
（2）若點M、N同時從B點出發(fā)，均以每秒1個單位長度的速度分別沿BA、BC邊運動，其中一個點到達(dá)終點時，另一點也隨之停止運動．當(dāng)運動時間為t秒時，連接MN，將△BMN沿MN翻折，B點恰好落在AC邊上的P處，求t的值及點P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，二次函數(shù)圖象的對稱軸上是否存在點Q，使得以B，N，Q為項點的三角形與△ABC相似？如果存在，請求出點Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意和圖形可求出函數(shù)的表達(dá)式；
（2）結(jié)合拋物線內(nèi)部幾何關(guān)系和性質(zhì)求出t值及P點坐標(biāo)；
（3）假設(shè)成立（1）若有△ACB∽△QNB則有∠ABC=∠QBN，尋找相似條件，判斷是否滿足．

解答：解：（1）∵C（0，

3

）在拋物線上
∴代入得c=

3

，
∵x=-4和x=2時二次函數(shù)的函數(shù)值y相等，
∴頂點橫坐標(biāo)x=

-4+2

2

=-1，
∴-

b

2a

=-1，
又∵A（-3，0）在拋物線上，
∴9a-3b+

3

=0
由以上二式得a=-

3

3

，b=-

2 3

3

，c=

3

；

（2）由（1）y=-

3

3

x2-

2 3

3

x+

3

=-

3

3

(x-1)(x+3)
∴B（1，0），
連接BP交MN于點O₁，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：0₁也為PB中點．
設(shè)t秒后有M（1-t，0），N（1-

t

2

，

3

2

t），O₁(1-

3

4

t，

3

4

t)）
設(shè)P（x，y），B（1，0）
∵O₁為P、B的中點可得1-

3t

4

=

1+x

2

，

3

4

t=

y

2

，即P（1-

3t

2

，

3

2

t）
∵A，C點坐標(biāo)知lAC：y=

3

3

x+

3

，P點也在直線AC上代入得t=

4

3

，
即P（-1，

2 3

3

）；

（3）假設(shè)成立；
①若有△ACB∽△QNB，則有∠ABC=∠QBN，
∴Q點在x軸上，AC∥QN但由題中A，C，Q，N坐標(biāo)知直線的一次項系數(shù)為：KAC=

3

3

≠KQN
則△ACB不與△QNB相似．
②若有△ACB∽△QBN，則有

CB

BN

=

AB

QN

…（1）
設(shè)Q（-1，y），C（0，

3

），A（-3，0），B（1，0），N（

1

3

，

2 3

3

）
則CB=2，AB=4，AC=2

3

代入（1）得

2

4 3

=

4

( 4 3 )2+(y- 2 3 3 )2

y=2

3

或-

2 3

3

．
當(dāng)y=2

3

時有Q（-1，2

3

）則QB=4?

AC

QB

=

3

2

≠

CB

BN

不滿足相似舍去；
當(dāng)y=-

2 3

3

時有Q（-1，-

2 3

3

）則QB=

4 3

3

?

AC

QB

=

3

2

=

CB

BN

．
∴存在點Q（-1，-

2 3

3

）使△ACB∽△QBN．
綜上可得：（-1，-

2 3

3

）．

點評：此題是二次函數(shù)綜合題，主要考函數(shù)的性質(zhì)和坐標(biāo)，幾何變換與三角形相似的性質(zhì)，探究一些存在性問題，難度較大，靈活運用函數(shù)性質(zhì)來解題，考查知識點全面．