Question

【題目】老師給同學(xué)們布置了一個(gè)“在平面內(nèi)找一點(diǎn)，使該點(diǎn)到等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等”的尺規(guī)作圖任務(wù)：

下面是小聰同學(xué)設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程：

已知：如圖，中，，

求作：一點(diǎn)，使得.

作法：

①作的平分線交于點(diǎn)；

②作邊的垂直平分線，與相交于點(diǎn)；

③連接，

所以，點(diǎn)就是所求作的點(diǎn).

根據(jù)小聰同學(xué)設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：∵，平分交于點(diǎn)，

∴是的垂直平分線；（ ）（填推理依據(jù)）

∴.

∵垂直平分，交于點(diǎn)，

∴；（ ）（填推理依據(jù)）

∴.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）等腰三角形的三線合一 線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等.

【解析】

（1）利用基本作圖作角平分線AD和AB的垂直平分線，它們相交于P點(diǎn)；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到PB=PC．再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等得到PA=PC，從而得到PA=PB=PC．

（1）如圖，AD、點(diǎn)P為所求；

（2）證明：∵，平分交于點(diǎn)，

∴是的垂直平分線；（ 等腰三角形的三線合一 ）（填推理依據(jù)）

∴.

∵垂直平分，交于點(diǎn)，

∴；（ 線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等 ）（填推理依據(jù)）

∴.