Question

【題目】如圖，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于點(diǎn)E，AE=1，ED=2．
（1）求證：∠ABC=∠D；
（2）求AB的長(zhǎng)；
（3）延長(zhǎng)DB到F，使得BF=BO，連接FA，試判斷直線FA與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵∠C與∠D所對(duì)應(yīng)的弧均為 ，

∴∠C=∠D，

∴∠ABC=∠D

（2）解：∵∠ABC=∠D，∠BAE=∠DAB，

∴△ABE∽△ADB，

∴ ，

即AB2=AE（AE+ED）=3，

解得：AB=

（3）答：直線FA與⊙O相切．理由如下：

連接OA，

∵BD為⊙O的直徑，

∴∠BAD=90°，

在Rt△ABD中，AB= ，AD=1+2=3，

根據(jù)勾股定理得：BD=2 ，

∴OB=OA=AB= ，

∵BF=OB，

∴AB=FB=OB，即AB= OF，

∴∠OAF=90°，

則直線AF與⊙O相切．

【解析】（1）由AB=AC，利用等邊對(duì)等角得到∠ABC=∠C，再由同弧所對(duì)的圓周角相等得到∠C=∠D，等量代換即可得證；（2）由（1）的結(jié)論與公共角相等，得到△ABE與△ADB相似，由相似得比例，即可求出AB的長(zhǎng)；（3）直線FA與⊙O相切，理由為：連接OA，由BD為直徑，得到∠BAD為直角，在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD的長(zhǎng)，得到AB=OB=OA，根據(jù)BF=BO，得到AB等于FO的一半，確定出∠OAF為直角，即可得證．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了圓周角定理和切線的判定定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半；切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題．