【題目】如圖所示,將矩形ABCD沿AF折疊,使點D落在BC邊的點E處,過點E作EG∥CD交AF于點G,連接DG.

(1)求證:四邊形EFDG是菱形;

(2)求證:EG2=GF×AF;

(3)若,折痕AF=5cm,則矩形ABCD的周長為 .

【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)36cm.

【解析】試題分析:1)先依據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明∠DGF=DFG,從而得到GD=DF,接下來依據(jù)翻折的性質(zhì)可證明DG=GE=DF=EF。

2)連接DE,交AF于點O.由菱形的性質(zhì)可知GFDE,OG=OF=GF,接下來,證明DOF∽△ADF,由相似三角形的性質(zhì)可證明DF2=FOAF,于是可得到GEAF、FG的數(shù)量關(guān)系.

3)過點GGHDC,垂足為H.利用(2)的結(jié)論可求得FG=4,然后再ADF中依據(jù)勾股定理可求得AD的長,然后再證明FGH∽△FAD,利用相似三角形的性質(zhì)可求得GH的長,最后依據(jù)BE=AD-GH求解即可.

試題解析:

1)證明:如圖所示,

EGCD∴∠EGF=DFG

∵由折疊的性質(zhì)可知:GD=GE,DF=EFDGF=EGF,

∴∠DGF=DFGGD=DF

GD=GE=DF=EF,∴四邊形EFDG為菱形;

2)證明:如圖所示,連接DE,交AF于點O

∵四邊形EFDG為菱形, GFDE,OG=OF=GF

∵∠DOF=ADF=90°OFD=DFA, ∴△DOF∽△ADF

,即DF2=OFAF

OF=GF,DF=EG, EG2=GFAF

3矩形ABCD的周長為36 cm.

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