【題目】如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD,點(diǎn)P在射線BC上,將△ABP沿AP向右翻折,得到△AEP,DE所在直線與AP所在直線交于點(diǎn)F.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí):

①若∠BAP=30°,求∠AFD的度數(shù);

②若點(diǎn)P是BC邊上任意一點(diǎn)時(shí)(不與B,C重合),∠AFD的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化?試證明你的結(jié)論;

(2)如圖2,若點(diǎn)P在BC邊的延長(zhǎng)線上時(shí),∠AFD的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化?試在圖中畫出圖形,并直接寫出結(jié)論;

(3)是否存在這樣的情況,點(diǎn)E為線段DF的中點(diǎn),如果存在,求BP的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)①∠AFD的度數(shù)為45°;②∠AFD的度數(shù)不會(huì)發(fā)生變化,證明見(jiàn)解析;

(2)畫出圖形見(jiàn)解析,∠AFE 的大小不會(huì)改變,理由見(jiàn)解析;

(3)BP的值為1.

【解析】(1)①∵∠EAP =∠BAP =30°,∴∠DAE =90°-30°×2=30°.

∵在△ADE中,AD =AE,∠DAE =30°,

∴∠ADE =∠AED =(180°﹣30°)÷2=75°.

∵在△AFD中,∠FAD =30°﹢30°=60°,∠ADF =75°,

∴∠F =180°﹣60°﹣75°=45°.

②方法一:

作AG⊥DF于G ,

∵在△ADE在,AD =AE,AG ⊥DE ,

∴AG平分∠DAE,∠2=∠DAG.

∵∠1=∠BAP,

∴∠1﹢∠2 =×90°=45°.

∴∠F =90°﹣45°=45°.

方法二:

②設(shè)∠BAP =∠EAP = ,則∠EAD=90°-2,∠FAD=90°-

∵在△ADE中,AD =AE,∠EAD=90°-2,

∴∠ADE= (180°-∠EAD)= (180°-90°+2)=45°+

∴在△ADF中,∠F=180°-∠FAD-∠ADE=180°-(90°- )-(45°+ )=45°.

(2)方法一:

作圖如圖2所示,∠AFE 的大小不會(huì)改變.作AG⊥DE于G ,得∠DAG =∠EAG ,

設(shè)∠DAG =∠EAG =

∴∠BAE =90°+2

∴∠FAE =∠BAE =45°+

∴∠FAG =∠FAE -∠EAG =45°.

方法二:

(2) ∠AFD 的大小不會(huì)改變.

設(shè)∠BAP =∠EAP = ,則∠EAD=2-90° ,

∵在△ADE中,AD =AE,∠EAD=2-90°,

∴∠AED= (180°-∠EAD)= (180°-2+90°)=135°-

∴在△AEF中, ∠AFD=180°-∠FAE-∠AED=180°- -(135°- )=45°.

(3)存在點(diǎn)E為DF的中點(diǎn).

連接BE交AF于點(diǎn)O,作EG∥AD,得EG∥BC.

∵EG∥AD,DE=EF,

∴EG=AD=1.

∵AB=AE,∴點(diǎn)A在線段BE的垂直平分線上.

同理得:點(diǎn)P在線段BE的垂直平分線上.

∴AF垂直平分線段BE.

∴OB=OE.

∵GE∥BP,∴∠OBP=∠OEG,∠OPB=∠OGE.

∴BP=EG=1.

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到C地

到D地

A地

每噸15元

每噸12元

B地

每噸10元

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1若從A地運(yùn)到C地的水泥為x噸,則用含x的式子表示從A地運(yùn)到D地的水泥 噸,從A地將水泥運(yùn)到D地的運(yùn)輸費(fèi)用為 .

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