Question

【題目】如圖1，在△OAB中，∠OAB＝90，∠AOB＝30，OB＝8．以OB為一邊，在△OAB外作等邊三角形OBC，D是OB的中點，連接AD并延長交OC于E．

【1】求點B的坐標(biāo)

【2】求證：四邊形ABCE是平行四邊形；

【3】如圖2，將圖1中的四邊形ABCO折疊，使點C與點A重合，折痕為FG，求OG的長．

Answer 1

【答案】

【1】 ∵在△OAB中，∠OAB＝90，∠AOB＝30，OB＝8，

∴OA＝4，AB＝4。∴點B的坐標(biāo)為（4，4）。………2分

【2】 ∵∠OAB＝90，∴AB⊥軸，∴AB∥EC。 又∵△OBC是等邊三角形，∴OC＝OB＝8。

又∵D是OB的中點，即AD是Rt△OAB斜邊上的中線，

∴AD＝OD，∴∠OAD＝∠AOD＝30，∴OE＝4。∴EC＝OC－OE＝4。

∴AB＝EC。∴四邊形ABCE是平行四邊形。……………………………………………………6分

【3】 設(shè)OG＝，則由折疊對稱的性質(zhì)，得GA＝GC＝8－。

在Rt△OAG中，由勾股定理，得，即，

解得，。∴OG的長為1。………………………………………………………………10分

【解析】

（1）由在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，根據(jù)三角函數(shù)的知識，即可求得AB與OA的長，即可求得點B的坐標(biāo)；

（2）首先可得CE∥AB，D是OB的中點，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可證得BD=AD，∠ADB=60°，又由△OBC是等邊三角形，可得∠ADB=∠OBC，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，可證得BC∥AE，繼而可得四邊形ABCD是平行四邊形；

（3）首先設(shè)OG的長為x，由折疊的性質(zhì)可得：AG=CG=8-x，然后根據(jù)勾股定理可得方程（8-x）2=x2+（4）2，解此方程即可求得OG的長．