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  • 【題目】已知如圖,四邊形中,于點,.點邊上一點,以為邊作平行四邊形,則最小值是__________

    【答案】4

    【解析】

    設對角線PQDC相交于點O,連接AO并延長AOBC的延長線于E,根據(jù)平行四邊形得性質可知點OCDPQ的中點,根據(jù)平行線的性質可得∠DAE=E,利用AAS可證明△AOD≌△EOC,可得AD=CE,可求出BE的長,由垂線段最短可知當OPAB時,OP最短,可得PQ為最小值,由ABBC,可得OP//BC,由OD=OC可得OP為△ABE的中位線,根據(jù)三角形中位線的性質可求出OP的長,進而可求出PQ的長.

    如圖,設對角線PQDC相交于點O,連接AO并延長AOBC的延長線于E,

    ∵四邊形是平行四邊形,

    ODC、PQ的中點,即OD=OC,OP=OQ

    ∴∠DAE=E,

    在△AOD和△EOC,

    ∴△AOD≌△EOCAAS),

    ,

    AD=1,BC=3

    BE=4,

    OPAB時,OP最短,即PQ有最小值,

    ABBC,AD//BC,

    OP//AD//BC

    OP為△ABE的中位線,

    OP=BE=2

    PQ=2OP=4,即PQ的最小值為4,

    故答案為:4

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    1)如圖(1),連接AFCE

    ①四邊形AFCE是什么特殊四邊形?說明理由;

    ②求AF的長;

    2)如圖(2),動點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā),沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周.即點PAFBA停止,點QCDEC停止.在運動過程中,已知點P的速度為每秒5cm,點Q的速度為每秒4cm,運動時間為t秒,當A、CP、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,求t的值.

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    (1)如圖1,請你探索當α為多少時,CDOB,并說明理由;

    (2)如圖2,α=___,ADOB;

    (3)在點A位置始終不變的情況下,你還能擺成幾種不同的位置,使兩塊三角板中至少有一組邊平行,請直接寫出符合要求的α的度數(shù)。(寫出三個即可)

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    【題目】如圖1,直線MN與直線ABCD分別交于點E、F,∠1與∠2互補.

    1)試判斷直線AB與直線CD的位置關系,并說明理由;

    2)如圖2,∠BEF與∠EFD的角平分線交于點P,EPCD交于點G,點HMN上一點,且GHEG,求證:PFGH;

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    【題目】四個全等的直角三角形按圖示方式圍成正方形ABCD,過各較長直角邊的中點作垂線,圍成面積為的小正方形EFGH,已知AMRtABM較長直角邊,AM=EF,則正方形ABCD的面積為(

    A. B. C. D.

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    【題目】如圖,AD是△ABC的角平分線,以AD為弦的⊙O交AB,AC于E,F(xiàn),已知EF∥BC.

    (1)求證:BC是⊙O的切線;
    (2)若已知AE=9,CF=4,求DE長;
    (3)在(2)的條件下,若∠BAC=60°,求tan∠AFE的值及GD長.

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    2)當△ABC滿足什么條件時,矩形AEBD是正方形,并說明理由.

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