Question

【題目】如圖1,在矩形的邊上存在點(diǎn),使得,我們稱點(diǎn)為矩形的“和諧點(diǎn)

(1)求證: ;

(2)如圖2,矩形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)分別在軸和軸上,在邊上是否存在“和諧點(diǎn)”，如果存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由

(3)在(2)中,如果點(diǎn)的坐標(biāo)為,且在上存在“和諧點(diǎn)”求的取值范圍

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析 (2)存在.和.(3) 且．

.

【解析】

（1）先說(shuō)明，再結(jié)合即可證明；

（2）由題意可知，以為直徑作圓與邊交于點(diǎn)，即為點(diǎn)P “和諧點(diǎn)”．連接，再由（1）得到，則運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；

（3）如圖：當(dāng)B在第一象限時(shí)，以為直徑的圓與邊相切于點(diǎn)時(shí),點(diǎn)的縱坐標(biāo)最大,則確定m的最大值；同理，當(dāng)B在第一象限時(shí)，確定m的最小值．

解:(1)∵四邊形是矩形,

∴

∴

∴

∴

∵

∴

(2)存在.理由如下:

∵四邊形是矩形,點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴

如圖,以為直徑作圓與邊交于點(diǎn),連接，則,

∴點(diǎn)為矩形的“和諧點(diǎn)”

由(1)的方法可知,

解得或

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或

綜上所述,符合條件的點(diǎn)有兩個(gè): 和.

(3)如圖, 當(dāng)B在第一象限時(shí)，以為直徑的圓與邊相切于點(diǎn)時(shí),點(diǎn)的縱坐標(biāo)最大,此時(shí)；

同理：當(dāng)B在第一象限時(shí)，可以得到點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值,此時(shí)；

當(dāng)向下移動(dòng)時(shí)(不與軸重合),圓與邊有兩個(gè)交點(diǎn)，則.

所以的取值范圍是且．