精英家教網(wǎng)已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)M的坐標(biāo),并在給定的直角坐系中畫出這條拋物線;
(2)若點(diǎn)(x0,y0)在拋物線上,且1≤x0≤4,寫出y0的取值范圍;
(3)設(shè)平行于y軸的直線x=t交線段BM于點(diǎn)P(點(diǎn)P能與點(diǎn)M重合,不能與點(diǎn)B重合),交x軸于點(diǎn)Q,四邊形AQPC的面積為S
①求s關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍;
②求S取得最大值時(shí)P的坐標(biāo);
③設(shè)四邊形OBMC的面積為S’,判斷是否存在點(diǎn)P,使得S=S’,若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
分析:(1)本題需先根據(jù)拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三點(diǎn),即可求出a、b、c的值,從而得出拋物線的解析式,即可求出頂點(diǎn)M的坐標(biāo).
(2)本題需先根據(jù)拋物線的解析式,分兩種情況進(jìn)行分析,當(dāng)x0=1時(shí)和x0=4時(shí)y0的值,即可求出它們的取值范圍.
(3)本題需先根據(jù)題意設(shè)出直線BM的解析式,再把B與M點(diǎn)的坐標(biāo)代入,求出直線BM的解析式,從而得出P點(diǎn)的坐標(biāo),即求出PQ、OQ、OA、OC的值,得出S的解析式;得出解析式后,求出t的值是多少的時(shí)候,S最大,得出P點(diǎn)的坐標(biāo),求出S的最大值是多少,即可求出S不等于S,也就是不存在點(diǎn)P.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(-1,0),B(3,0),C(0,3),
a-b+c=0
9a+3b+c=0
c=3

a=-1
b=2
c=3

∴拋物線的解析式是:y=-x2+2x+3
∴拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是(1,4)

(2)∵拋物線的解析式是y=-x2+2x+3,
當(dāng)x0=1時(shí),y0=4
當(dāng)x0=4時(shí),
y0=-5,
∴當(dāng)1≤x0≤4時(shí),-5≤y0≤4

(3)①設(shè)直線BM的解析式為y=mx+n
把B(3,0),M(1,4)代入得
3m+n=0
m+n=4

m=-2
n=6

∴直線BM的解析式為:y=-2x+6,
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為:(t,-2t+6),
∴PQ=|-2t+6|=-2t+6,
又OQ=|t|=t  OA=|-1|=1,OC=|3|=3,
∴S=S△AOC+S梯形OQPC
=
1
2
×OA×OC
+
1
2
(OC+PQ)×OQ 
=
1
2
×1×3
+
1
2
×(
3-2t+6)×t精英家教網(wǎng)
=-t2+
9
2
t
+
3
2
(1≤t<3)
②S=-t2+
9
2
t
+
3
2

=-(t2-
9
2
t-
3
2

=-(t-
9
4
)2+
2+
105
16

∴當(dāng)t=
9
4
時(shí),S最大,
∴S的最大值為
105
16
,這時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(
9
4
3
2

③S=
1
2
×(3+4)×1
+
1
2
×2×4
=
7
2
+4
=
15
2

∴S的最大值為
105
16

105
16
15
2

∴S=S′不可能,
∴不存在點(diǎn)P,使S=S′.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了二次函數(shù)綜合問題,在解題時(shí)要涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和取值范圍以及最大值問題,在求有關(guān)最值問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A(-2,0),B(0,-4),C(2,-4)三點(diǎn),且精英家教網(wǎng)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E.
(1)求拋物線的解析式;
(2)用配方法求拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)和對(duì)稱軸;
(3)求四邊形ABDE的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線y=ax2和直線y=kx的交點(diǎn)是P(-1,2),則a=
 
,k=
 

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

2、已知拋物線y=ax2+bx+c的開口向下,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-3),那么該拋物線有( 。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(其中b>0,c<0)的頂點(diǎn)P在x軸上,與y軸交于點(diǎn)Q,過坐標(biāo)原點(diǎn)O,作OA⊥PQ,垂足為A,且OA=
2
,b+ac=3.
(1)求b的值;
(2)求拋物線的解析式.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•廣州)已知拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0,a≠c)過點(diǎn)A(1,0),頂點(diǎn)為B,且拋物線不經(jīng)過第三象限.
(1)使用a、c表示b;
(2)判斷點(diǎn)B所在象限,并說明理由;
(3)若直線y2=2x+m經(jīng)過點(diǎn)B,且于該拋物線交于另一點(diǎn)C(
ca
,b+8
),求當(dāng)x≥1時(shí)y1的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案