Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線．

(1)當(dāng)m=3時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)已知點(diǎn)A(1，2)．試說(shuō)明拋物線總經(jīng)過(guò)點(diǎn)A；

(3)已知點(diǎn)B(0，2)，將點(diǎn)B向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)C，若拋物線與線段BC只有一個(gè)公共點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)(1，2)；(2)詳見(jiàn)解析；(3)m=3或0<m<或-3<m<0．

【解析】

(1)把m=3代入解析式，化成頂點(diǎn)式，即可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)把x=1代入解析式，總等于2，與無(wú)關(guān)，即可判斷拋物線總經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，2)；

(3)根據(jù)題意可以得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，分頂點(diǎn)在線段BC上、拋物線過(guò)點(diǎn)B(0，2)、拋物線過(guò)點(diǎn)C(3，2)時(shí)三種情況討論，畫(huà)出拋物線的圖象，然后根據(jù)圖象和題意，即可得到的取值范圍．

(1)把m=3代入中，得：

，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1，2)；

(2)當(dāng)x=1時(shí)，，

∵點(diǎn)A(1，2)，

∴拋物線總經(jīng)過(guò)點(diǎn)A；

(3)∵點(diǎn)B(0，2)，由平移得C(3，2)．

① 當(dāng)頂點(diǎn)在線段BC上，拋物線與線段BC只有一個(gè)公共點(diǎn)．

由(1)知，拋物線的頂點(diǎn)A(1，2)在線段BC上，

此時(shí)，m=3；

② 當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)B(0，2)時(shí)，

將點(diǎn)B(0，2)代入拋物線表達(dá)式，得：

，

∴m=>0，

此時(shí)拋物線開(kāi)口向上(如圖1)，

∴當(dāng)0<m<時(shí)，拋物線與線段BC只有一個(gè)公共點(diǎn)；

③當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)C(3，2)時(shí)，

將點(diǎn)C(3，2)代入拋物線表達(dá)式，得：

，

∴，

此時(shí)拋物線開(kāi)口向下(如圖2)，

∴當(dāng)時(shí)，拋物線與線段BC只有一個(gè)公共點(diǎn)，

綜上，m的取值范圍是m=3或0<m<或-3<m<0．