Question

【題目】定義正整數(shù)m，n的運(yùn)算，m△n＝

例2△3＝，3△4＝

（1）3△2的值為 運(yùn)算符號(hào)“△”滿足交換律嗎？回答 （填“是”或者“否”）

（2）探究：計(jì)算2△10＝的值．

為解決上面的問題，我們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過不斷的分割一個(gè)面積為1的正方形，把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形結(jié)合起來，最終解決問題．

如圖所示，第1次分割把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為，第2次，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，陰影分的面積之和為，第3次分割把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分……以此類推……第10次分割，把第9次分割后的圖中的空日部分的面積最后二等分，所有陰影部分面積之和為．

根據(jù)第10次分割圖可以得出計(jì)結(jié)果：＝1﹣，進(jìn)一步分析可得出＝1﹣，

（3）已知n是正整數(shù)，計(jì)算3×（4△n）＝的結(jié)果．

按指定方法解決問題請(qǐng)仿照以上做法，只需畫出第n次分割圖并作標(biāo)注，寫出最終結(jié)果的推理步驟，或借用以上結(jié)論進(jìn)行推理，寫出必要的步驟．

Answer 1

【答案】（1），否（2）1- （3）見解析

【解析】

（1）根據(jù)新定義運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；重點(diǎn)是理解新定義是如何運(yùn)算的
（2）根據(jù)計(jì)算2△10=…+ 的值的計(jì)算過程得到規(guī)律解題；
（3）根據(jù)探究的分割方法依次進(jìn)行分割，然后表示出陰影部分的面積，再除以3即可．

（1）3△2＝，而2△3＝，則3△2≠2△3，

所以運(yùn)算“△”不滿足交換規(guī)律

故答案是：；否；

（2）如圖所示，第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為；

第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，陰影部分的面積這和為；

第3次分割，把上次圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，…依此類推，…

第10次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和為，最后空白部分的面積為；

根據(jù)第10次分割圖可以得出計(jì)算結(jié)果為；

進(jìn)一步分析可得出：果為；

故答案是：1﹣．

（3）第1次分割，把正方形的面積四等分，其中陰影部分的面積為；

第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)四等分，陰影部分的面積為；

第3次分害，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)四等分，陰影部分的面積……，

第n次分害，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)四等分，陰影部分的面積

，最后的空白部分的面積是；

根據(jù)第n次公害圖可得等式：.

兩邊同除以3，得：.