【題目】已知△ABC中,AB=AC.
(1)如圖1,在△ADE中,若AD=AE,且∠DAE=∠BAC,求證:CD=BE;
(2)如圖2,在△ADE中,若∠DAE=∠BAC=60°,且CD垂直平分AE,AD=3,CD=4,求BD的長;
(3)如圖3,在△ADE中,當BD垂直平分AE于H,且∠BAC=2∠ADB時,試探究CD2,BD2,AH2之間的數量關系,并證明.
【答案】(1)證明見解析;(2)5;(3)CD2=BD2+4AH2.證明見解析.
【解析】(1)、根據∠DAE=∠BAC得出∠DAC=∠BAE,結合已知條件得出△ACD和△ABE全等,從而得出答案;(2)、連接BE,根據中垂線的性質以及∠DAE=60°得出△ADE是等邊三角形,根據△ABE和△ACD全等得出答案;(3)、過B作BF⊥BD,且BF=AE,連接DF,則四邊形ABFE是平行四邊形,設∠AEF=x,∠AED=y,則∠FED=x+y,然后證明△ACD和△EFD全等,得出CD=DF,然后根據BD2+BF2=DF2得出答案.
(1)、如圖1,證明:∵∠DAE=∠BAC,∴∠DAE+∠CAE=∠BAC+∠CAE,
即∠DAC=∠BAE.∴△ACD≌△ABE(SAS),∴CD=BE;
(2)、連接BE,∵CD垂直平分AE∴AD=DE,∵∠DAE=60°,∴△ADE是等邊三角形,
∴∠CDA=∠ADE=×60°=30°,∵△ABE≌△ACD,
∴BE=CD=4,∠BEA=∠CDA=30°,∴BE⊥DE,DE=AD=3, ∴BD=5;
(3)、如圖,過B作BF⊥BD,且BF=AE,連接DF,則四邊形ABFE是平行四邊形,
∴AB=EF,設∠AEF=x,∠AED=y,則∠FED=x+y,
∠BAE=180°﹣x,∠EAD=∠AED=y,∠BAC=2∠ADB=180°﹣2y,
∠CAD=360°﹣∠BAC﹣∠BAE﹣∠EAD=360°﹣(180°﹣2y)﹣(180°﹣x)﹣y=x+y,
∴∠FED=∠CAD,∴△ACD≌△EFD(SAS),∴CD=DF,
而BD2+BF2=DF2, ∴CD2=BD2+4AH2.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點O為坐標原點,正方形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上,點B的坐標為(2,2),反比例函數(x>0,k≠0)的圖像經過線段BC的中點D.
(1)求k的值;
(2)若點P(x,y)在該反比例函數的圖像上運動(不與點D重合),過點P作PR⊥y軸于點R,作PQ⊥BC所在直線于點Q,記四邊形CQPR的面積為S,求S關于x的解析式并寫出x的取值范圍。
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,左面的幾何體叫三棱柱,它有五個面,條棱,個頂點,中間和右邊的幾何體分別是四棱柱和五棱柱.
四棱柱有________個頂點,________條棱,________個面;
五棱柱有________個頂點,________條棱,________個面;
你能由此猜出,六棱柱、七棱柱各有幾個頂點,幾條棱,幾個面嗎?
棱柱有幾個頂點,幾條棱,幾個面嗎?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】數軸上點對應的數為,點對應的數為,點為數軸上一動點.
(1) AB的距離是 .
(2) ①若點到點的距離比到點的距離大1,點對應的數為 .
②若點其對應的數為,數軸上是否存在點,使點到點,點的距離之和為8?若存在,請求出的值;若不存在,請說明理由.
(3)當點以每秒鐘個單位長度從原點向右運動時,點以每秒鐘個單位長度的速度從點向左運動,點以每秒鐘個單位長度的速度從點向右運動,問它們同時出發(fā) 秒鐘時,(直接寫出答案即可).
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,將等邊△ABD沿BD中點旋轉180°得到△BDC.現給出下列命題:
①四邊形ABCD是菱形;
②四邊形ABCD是中心對稱圖形;
③四邊形ABCD是軸對稱圖形;
④AC=BD.
其中正確的是(寫上正確的序號).
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標系中,Rt△ABC的三個頂點分別是A(﹣3,2),B(0,4),C(0,2).
(1)將△ABC以點C為旋轉中心旋轉180°,畫出旋轉后對應的△A1B1C;
(2)平移△ABC,若點A的對應點A2的坐標為(0,﹣4),畫出平移后對應的△A2B2C2;
(3)若將△A1B1C繞某一點旋轉可以得到△A2B2C2;請在坐標系中作出旋轉中心S并寫出旋轉中心S的坐標:S
(4)在x軸上有一點P,使得PA+PB的值最小,請作圖標出P點并寫出點P的坐標.P .
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,點D從點C出發(fā)沿CA方向以4cm/秒的速度向點A勻速運動,同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點B勻速運動,當其中一個點到達終點時,另一個點也隨之停止運動.設點D、E運動的時間是t秒(0<t≤15).過點D作DF⊥BC于點F,連接DE,EF.
(1)求證:AE=DF;
(2)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎?如果能,求出相應的t值,如果不能,說明理由;
(3)當t為何值時,△DEF為直角三角形?請說明理由.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】下列調查方式合適的是( )
A. 為了了解外地游客對岳陽樓新景區(qū)的感受,小華利用周日在汴河街隨機采訪了名武漢游客
B. 為了了解全校學生用于做數學作業(yè)的時間,小民同學在網上通過向位好友做了調查
C. 為了了解“嫦娥一號”衛(wèi)星零部件的狀況,檢測人員采用了普查的方式
D. 為了了解全國青少年兒童在陽光體育運動啟動后的睡眠時間,統(tǒng)計人員采用了普查的方式
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,P是等邊△ABC內的一點,且PA=5,PB=4,PC=3,將△APB繞點B逆時針旋轉,得到△CQB.求:
(1)點P與點Q之間的距離;
(2)求∠BPC的度數.
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