Question

如圖，拋物線y1=a(x+2)2-3與y2=

1

2

(x-3)2+1交于點(diǎn)A（1，3），過點(diǎn)A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點(diǎn)B、C．則以下結(jié)論：
①無論x取何值，y₂的值總是正數(shù)；②a=

3

2

；③當(dāng)x=0時(shí)，y₂-y₁=5；④當(dāng)y₂＞y₁時(shí)，0≤x＜1；⑤2AB=3AC．
其中正確結(jié)論的編號(hào)是

①⑤

．

Answer 1

分析：①根據(jù)圖象可以判斷出圖象都在x軸的上方，據(jù)此即可得知，無論x取何值，y₂的值總是正數(shù)；
②將點(diǎn)A（1，3）代入y1=a(x+2)2-3得a=

2

3

即可判斷；
③將x=0分別代入y1=

2

3

(x+2)2-3和y2=

1

2

(x-3)2+1，求出y1與y2的值，再相減即可得到y(tǒng)₂-y₁的值；
④令y₂=y₁，求出兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)圖象判斷x的取值范圍；
⑤令

2

3

(x+2)2-3=3，

1

2

(x-3)2+1=3，分別解方程，求出A、B、C點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再計(jì)算出AB、AC的長，即可做出正確判斷．

解答：解：①由圖可知，y₂的圖象在x軸的上方，可見，無論x取何值，y₂的值總是正數(shù)，故本選項(xiàng)正確；
②將點(diǎn)A（1，3）代入拋物線y1=a(x+2)2-3，得a（1+2）²-3=3，解得a=

2

3

，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
③當(dāng)x=0時(shí)，y₁=

2

3

(0+2)2-3=-

1

3

，y2=

1

2

(0-3)2+1=

11

2

，y₂-y₁=

11

2

+

1

3

=

35

6

，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
④令y₂=y₁，則有

2

3

(x+2)2-3=

1

2

(x-3)2+1，解得x₁=1，x₂=-35．幾何圖象可知，y₂＞y₁，-35＜x＜1，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
⑤令

2

3

(x+2)2-3=3，解得，x₁=1或x₂=-5；AB=5+1=6；

1

2

(x-3)2+1=3，解得，x₃=5，x₄=1；AB=5-1=4；
則2AB=3AC．故本選項(xiàng)正確．
故答案答案為①⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是本題的核心，要善于利用圖形進(jìn)行解答．