如圖①，C為線段BD上一動點，分別過點B．D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，設BC=x．

（1）當BC的長為多少時，點C到A、E兩點的距離相等？
（2）用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長；問點A、C、E滿足什么條件時，AC+CE的值最小？
（3）如圖②，在平面直角坐標系中，已知點M（0，4），N（3，2），請根據(jù)（2）中的規(guī)律和結論構圖在x軸上找一點P，使PM+PN最小，求出點P坐標和PM+PN的最小值．
分析：（1）當點C到A、E兩點的距離相等即AC=EC，由勾股定理建立方程，解方程即可；
（2）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；若點C不在AE的連線上，根據(jù)三角形中任意兩邊之和＞第三邊知，AC+CE＞AE，故當A、C、E三點共線時，AC+CE的值最��；
（3）根據(jù)在直線OX上的同側有兩個點M、N，在直線OX上有到M、M的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關于直線OX的對稱點，對稱點與另一點的連線與OX的交點就是所要找的P．再利用勾股定理計算即可．
解答：解：（1）∵BC=x，BD=8，
∴CD=8-x，
∵AC=EC，
∴x2+52=（8-x）2+12，
解得：x=
5
2
，
∴當BC=
5
2
時，點C到A、E兩點的距離相等；

（2）AC+CE=
x2+25
+
x2-16x+65
，
當A、C、E在同一直線上，AC+CE最��；

（3）如圖所示：P（2，0），
∵PM=
OP 2+OM 2
=
20
=2
5
，
PN=
1 2+22
=
5
，
∴PM+PN最小值為 3
5
．
點評：本題利用了數(shù)形結合的思想，可通過構造直角三角形，利用勾股定理求解和利用軸對稱求最短路線問題．
練習冊系列答案
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，點C為線段AB上一動點，△ACD，△CBE是等邊三角形，AE交BD于點O，AE交CD于點P，BD交CE于點Q，連接OC，下列結論中：①PE=BQ，②∠AOD=60°，③EO=BQ，④OC+OE=OB，⑤OC平分∠AOB，正確的結論有
 
（只填序號）．
精英家教網(wǎng)

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，點C為線段AB上任意一點（不與A、B重合），分別以AC、BC為一腰在AB的同側作等腰△ACD和等腰△BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD與∠BCE都是銳角且∠ACD=∠BCE，連接AE交CD于點M，連接BD交CE于點N，AE與BD交于點P，連接PC．
（1）求證：△ACE≌△DCB；
（2）請你判斷△AMC與△DMP的形狀有何關系并說明理由；
（3）求證：∠APC=∠BPC．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，點C在線段BD上，AC⊥BD，CA=CD，點E在線段CA上，且滿足DE=AB，連接DE并延長交AB于點F．
（1）求證：DE⊥AB；
（2）若已知BC=a，AC=b，AB=c，設EF=x，則△ABD的面積用代數(shù)式可表示為；S△ABD=
12
c(c+x)你能借助本題提供的圖形，證明勾股定理嗎？試一試吧．

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科目：初中數(shù)學 來源：學習周報　數(shù)學　華師大八年級版　2009－2010學年　第19～26期　總第175～182期 華師大版 題型：044

如圖，點C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，垂足分別為B、D，連結AC、EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，設CD＝x．

(1)用含x的代數(shù)式表示AC＋CE的長；

(2)請問點C滿足什么條件時，AC＋CE的值最��？

(3)根據(jù)(2)中規(guī)律和結論，請構圖求出代數(shù)式＋的最小值．

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科目：初中數(shù)學 來源：廣東省期中題 題型：解答題

如圖，點C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC。已知AB=5，DE=1，
BD=8，設CD=x。
（1）用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長；
（2）請問點C滿足什么條件時，AC+CE的值最小?
（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律和結論，請構圖求出代數(shù)式的最小值。

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