Question

如圖，直線與軸、軸分別交于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)開始在線段AO上以每秒3個(gè)長(zhǎng)度單位的速度向原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)． 動(dòng)直線EF從軸開始以每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位的速度向上平行移動(dòng)（即EF∥軸），并且分別與軸、線段AB交于E、F點(diǎn)．連結(jié)FP，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線EF同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t＝1秒時(shí)，求梯形OPFE的面積；
（2）t為何值時(shí)，梯形OPFE的面積最大，最大面積是多少？
（3）設(shè)t的值分別取t₁、t₂時(shí)(t₁≠t₂)，所對(duì)應(yīng)的三角形分別為△AF₁P₁和△AF₂P₂．試判斷這兩個(gè)三角形是否相似，請(qǐng)證明你的判斷．

Answer 1

（1）18；（2）50；（3）相似

試題分析：（1）先根據(jù)直線的性質(zhì)求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A的移動(dòng)規(guī)律，得到AP的長(zhǎng)，從而求出OP的長(zhǎng)；又因?yàn)镋F=BE，用OB的長(zhǎng)減去OE的長(zhǎng)即可求出EF的長(zhǎng)；從而利用梯形面積公式求出梯形OPFE面積；
（2）設(shè)OE=t，AP=3t，利用梯形面積公式，將梯形面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)表達(dá)式，求二次函數(shù)的最大值即可；
（3）作FD⊥x軸于D，則四邊形OEFD為矩形．求出三角形各邊的長(zhǎng)度表達(dá)式，計(jì)算出對(duì)應(yīng)邊的比值，加上一個(gè)夾角相等，即可得到結(jié)果.
設(shè)梯形OPFE的面積為S.
(1) A(20，0)，B(0，20)
∴OA=OB=20，∠A=∠B=45°
當(dāng)t=1時(shí)，OE=1，AP=3
∴OP=17，EF=BE=19
∴S=(OP+EF)·OE=18；
(2) OE=t，AP=3t
∴OP=20-3t，EF=BE=20-t
∴S=(OP+EF)·OE=(20-3t +20-t)·t=-2t²+20t=-2(t-5)²+50
∴當(dāng)t="5" (在0<t<范圍內(nèi))時(shí)，S_最大值=50；
(3) 作FD⊥x軸于D，則四邊形OEFD為矩形

∴FD=OE=t，AF=FD=t，又AP=3t
當(dāng)t=t₁時(shí)，AF₁=t₁，AP₁=3t₁
當(dāng)t=t₂時(shí)，AF₂=t₂，AP₂=3t₂
∴，又∠A=∠A
∴△AF₁P₁∽△AF₂P₂.
點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是熟記求二次函數(shù)的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法．