【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,CE⊥BC交AD于點(diǎn)E,連接BE,點(diǎn)F是BE上一點(diǎn),連接CF.
(1)如圖1,若∠ECD=30°,BC=BF=4,DC=2,求EF的長;
(2)如圖2,若BC=EC,過點(diǎn)E作EM⊥CF,交CF延長線于點(diǎn)M,延長ME、CD相交于點(diǎn)G,連接BG交CM于點(diǎn)N,若CM=MG,求證:EG=2MN.
【答案】(1)EF=﹣4;(2)證明見解析.
【解析】
(1)利用勾股定理求出EC,BE即可解決問題.
(2)如圖2中,延長GM到H,使得MH=MG,連接CH,BH.想辦法證明EG=BH,BH=2MN即可解決問題.
(1)解:如圖1中,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,
∵EC⊥BC,
∴AD⊥EC,
∴∠BCE=∠CED=90°,
∵∠ECD=30°,CD=2,
∴CE=CDcos30°=,
在Rt△BCE中,BE==,
∵BC=CF=4,
∴EF=BE﹣BF=-4.
(2)證明:如圖2中,延長GM到H,使得MH=MG,連接CH,BH.
∵CM=MG=MH,CM⊥GH,
∴∠HCG=90°,CH=CG,
∴∠HCG=∠BCE,
∴∠BCH=∠ECG,
∵CB=CE,
∴△BCH≌△ECG(SAS),
∴BH=EG,∠CHB=∠CGE=45°,
∵∠CHG=45°,
∴∠BHG=90°,
∴∠BHG=∠CMG=90°,
∴MN∥BH,∵HM=HG,
∴BN=NG,
∴BH=2MN,
∴EG=2MN.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1中,△ABC為等腰三角形,AB=AC,點(diǎn)E為腰AB上任意一點(diǎn),以CE為底邊作等腰△DEC.且∠BAC=∠EDC=α,連結(jié)AD:
(1)如圖2中,當(dāng)α=60°時,∠DAC=______,=______;
(2)如圖3中,當(dāng)α=90°時,求∠DAC的度數(shù)與的值;
(3)如圖1中,當(dāng)BC=AC.∠DAC=___(用α的代數(shù)式表示)=___.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,AD=AE,連接DC,點(diǎn)M,P,N分別為DE,DC,BC的中點(diǎn).
(1)觀察猜想
圖1中,線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是 ,位置關(guān)系是 ;
(2)探究證明
把△ADE繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置,連接MN,BD,CE,判斷△PMN的形狀,并說明理由;
(3)拓展延伸
把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),若AD=4,AB=10,請直接寫出△PMN面積的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】大學(xué)生小亮響應(yīng)國家創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)號召,回家鄉(xiāng)承包了一片坡地,改造后種植優(yōu)質(zhì)獼猴桃.經(jīng)核算這批獼猴桃的種植成本為16 元,設(shè)銷售時間為(天),通過一個月(30天)的試銷得出如下規(guī)律:①獼猴桃的銷售價格p(元)與時間x(天)的關(guān)系:當(dāng) 時,p與x滿足一次函數(shù)關(guān)系,如下表:
(天) | 2 | 4 | 6 | ...... |
(元) | 35 | 34 | 33 | ...... |
當(dāng)時,銷售價格穩(wěn)定為24元;②獼猴桃的銷售量與時間(天)之間的關(guān)系:第一天賣出,以后每天比前一天多賣出.
(1)填空:試銷的一個月中,銷售價p(元)與時間(天)的函數(shù)關(guān)系式為____;銷售量與時間x(天)的函數(shù)關(guān)系式為_____.
2)求銷售第幾天時,當(dāng)天的利潤最大?最大利潤是多少?
(3)請求出試銷的一個月中當(dāng)天銷售利潤不低于 930 元的天數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小雪和小松分別從家和圖書館出發(fā),沿同一條筆直的馬路相向而行.小雪開始跑步,中途在某地改為步行,且步行的速度為跑步速度的一半,小雪先出發(fā)5分鐘后,小松才騎自行車勻速回家.小雪到達(dá)圖書館恰好用了35分鐘.兩人之間的距離y(m)與小雪離開出發(fā)地的時間x(min)之間的函數(shù)圖象如圖所示,則當(dāng)小松剛到家時,小雪離圖書館的距離為____米.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知如圖,D是△ABC中AB邊上的中點(diǎn),△ACE和△BCF分別是以AC、BC為斜邊的等腰直角三角形,連接DE、DF.
求證:DE=DF.
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【題目】矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,4),D是OA的中點(diǎn),點(diǎn)E在AB上,當(dāng)△CDE的周長最小時,點(diǎn)E的坐標(biāo)為_____.
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【題目】在正方形ABCD中,AB=8,點(diǎn)P在邊CD上,tan∠PBC=,點(diǎn)Q是在射線BP上的一個動點(diǎn),過點(diǎn)Q作AB的平行線交射線AD于點(diǎn)M,點(diǎn)R在射線AD上,使RQ始終與直線BP垂直.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)R與點(diǎn)D重合時,求PQ的長;
(2)如圖2,試探索: 的比值是否隨點(diǎn)Q的運(yùn)動而發(fā)生變化?若有變化,請說明你的理由;若沒有變化,請求出它的比值;
(3)如圖3,若點(diǎn)Q在線段BP上,設(shè)PQ=x,RM=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出它的定義域.
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【題目】點(diǎn)M為二次函數(shù)y=﹣x2+2bx+1+4b﹣b2圖象的頂點(diǎn),直線y=mx+5分別交x軸正半軸,y軸于點(diǎn)A,B.
(1)判斷頂點(diǎn)M是否恒在某條直線上?若是,求出該直線解析式;若不是,說明理由.
(2)若二次函數(shù)圖象也經(jīng)過點(diǎn)A,B,且mx+5>﹣x2+2bx+2+4b﹣b2,借助圖象,求出x的取值范圍.
(3)點(diǎn)A坐標(biāo)為(5,0),點(diǎn)M在△AOB內(nèi)時,若點(diǎn)C(,y1),D(,y2)都在二次函數(shù)圖象上,試比較y1與y2的大。
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