Question

取一張矩形的紙進行折疊，具體操作過程如下：
第一步：先把矩形ABCD對折，折痕為MN，如圖（1）所示；
第二步：再把B點疊在折痕線MN上，折痕為AE，點B在MN上的對應點為B′，得 Rt△AB′E，如圖（2）所示；
第三步：沿EB′線折疊得折痕EF，如圖（3）所示；利用展開圖（4）所示．

探究：
（1）△AEF是什么三角形？證明你的結論．
（2）對于任一矩形，按照上述方法是否都能折出這種三角形？請說明理由．
（3）如圖（5），將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點A落在DC邊上的點A′處，x軸垂直平分DA，直線EF的表達式為y=kx-k （k＜0）
①問：EF與拋物線y=-

1

8

x2 有幾個公共點？
②當EF與拋物線只有一個公共點時，設A′（x，y），求

x

y

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及矩形性質(zhì)得出∠AEF=60°，∠EAF=60°，即可得出答案；
（2）根據(jù)矩形的長為a，寬為b，可知b≤

3

2

a 時，一定能折出等邊三角形，當

3

2

a＜b＜a 時，不能折出；
（3）①由已知得出

y=kx-k y=- 1 8 x2

得到 x²+8kx-8k=0，△=（8k）²+32k=32k（2k+1），再分析k即可得出答案；
②得出Rt△EMO∽Rt△A′AD，進而得出

OE

OM

=

DA/

DA

，即可求出答案．

解答：解：（1）△AEF是等邊三角形
證明：∵PE=PA，
B′P是RT△AB′E 斜邊上的中線
∴PA=B′P，
∴∠EAB′=∠PB′A，
又∵PN∥AD，
∴∠B′AD=∠PB′A，
又∵2∠EAB′+∠B′AD=90°，
∴∠EAB′=∠B′AD=30°，
易證∠AEF=60°，∴∠EAF=60°，
∴△AEF是等邊三角形；

（2）不一定，
設矩形的長為a，寬為b，可知b≤

3

2

a 時，一定能折出等邊三角形，
當

3

2

a＜b＜a 時，不能折出；

（3）①由

y=kx-k y=- 1 8 x2

，
得 x²+8kx-8k=0，△=（8k）²+32k=32k（2k+1），
∵k＜0．
∴k＜-

1

2

時，△＞0，EF與拋物線有兩個公共點．
當k=-

1

2

，△=0時，EF與拋物線有一個公共點．
當k＞-

1

2

，△＜0時，EF與拋物線沒有公共點，
②EF與拋物線只有一個公共點時，k=-

1

2

，
EF的表達式為y=-

1

2

x+

1

2

，
EF與x軸、y軸的交點為M（1，0），E（0，

1

2

），
∵∠EMO=90°-∠OEM=∠EAA′，
∴RT△EMO∽RT△A′AD，

OE

OM

=

DA/

DA

，
即

1 2

1

=

x

2y

，
∴

x

y

=1．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定等知識，相似三角形經(jīng)常與二次函數(shù)綜合應用，同學們應有意識地運用．