Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，0）、B（0，3），過點(diǎn)B作直線∥x軸，點(diǎn)P（a，3）是直線上的動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊在AP右側(cè)作等腰RtAPQ，∠APQ=Rt∠，直線AQ交y軸于點(diǎn)C．

（1）當(dāng)a=1時(shí)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也隨之運(yùn)動(dòng)．當(dāng)a=時(shí)，AQ+BQ的值最小為 ．

Answer 1

【答案】
（1）（4,4）
（2）,
【解析】（1）過點(diǎn)P作PE⊥OA，垂足為E，過點(diǎn)Q作QF⊥BP，垂足為F，如圖1．

∵BP∥OA，PE⊥OA，

∴∠EPF=∠PEO=90°．

∵∠APQ=90°，

∴∠EPA=∠FPQ=90°﹣∠APF．在△PEA和△PFQ中， ，

∴△PEA≌△PFQ．

∴PE=PF，EA=QF．

∵a=1，

∴P（1，3）．

∴OE=BP=1，PE=3．

∵A（2，0），

∴OA=2，

∴EA=1．

∴PF=3，QF=1．

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，4）．

（ 2 ）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，3），則PF=PE=3，QF=AE=|2﹣a|．

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a+3，5﹣a）．

∵無論a為何值，點(diǎn)Q的坐標(biāo)（a+3，5﹣a）都滿足一次函數(shù)解析式y(tǒng)=﹣x+8，

∴點(diǎn)Q始終在直線y=﹣x+8上運(yùn)動(dòng)．設(shè)直線y=﹣x+8與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M、N，如圖2所示．

當(dāng)x=0時(shí)y=8，當(dāng)y=0時(shí)x=8．

∴OM=ON=8．

∵∠AOB=90°，

∴∠OMN=45°．

過點(diǎn)A關(guān)于直線MN作對(duì)稱點(diǎn)A′，連A′Q、A′M，則A′Q=AQ，A′M=AM=6，∠A′MN=∠AMN=45°．

∴∠A′MA=90°，AQ+BQ=A′Q+BQ．根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知：當(dāng)A′、Q、B三點(diǎn)共線時(shí)，AQ+BQ=A′Q+BQ最短，最小值為A′B長．設(shè)直線BP與A′M相交于點(diǎn)H，

則BH⊥A′M．在Rt△A′HB中，∠A′HB=90，BH=OM=8，A′H=A′M﹣MH=6﹣3=3，

∴A′B= = = ．當(dāng)A′、Q、B三點(diǎn)共線時(shí)，

∵BN∥A′M，

∴△BQN～△A′QM．根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比可得： ，解得xQ= ．

∴a+3= ．

∴a= ．

∴當(dāng)a= 時(shí)，AQ+BQ的值最小為 ．

所以答案是：（1）（4，4）；（2） ； ．

【考點(diǎn)精析】利用平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．