【題目】如圖,已知⊙O的半徑長為1,AB、AC是⊙O的兩條弦,且AB=AC,BO的延長線交AC于點(diǎn)D,聯(lián)結(jié)OA、OC.

(1)求證:△OAD∽△ABD;
(2)當(dāng)△OCD是直角三角形時(shí),求B、C兩點(diǎn)的距離;
(3)記△AOB、△AOD、△COD 的面積分別為S1、S2、S3 , 如果S2是S1和S3的比例中項(xiàng),求OD的長.

【答案】
(1)

證明:如圖1中,

在△AOB和△AOC中,

∴△AOB≌△AOC,

∴∠C=∠B,

∵OA=OC,

∴∠OAC=∠C=∠B,∵∠ADO=∠ADB,

∴△OAD∽△ABD


(2)

解:如圖2中,

∵BD⊥AC,OA=OC,

∴AD=DC,

∴BA=BC=AC,

∴△ABC是等邊三角形,

在Rt△OAD中,∵OA=1,∠OAD=30°,

∴OD= OA= ,

∴AD= = ,

∴BC=AC=2AD=


(3)

解:如圖3中,作OH⊥AC于H,設(shè)OD=x.

∵△DAO∽△DBA,

= =

= = ,

∴AD= ,AB=

∵S2是S1和S3的比例中項(xiàng),

∴S22=S1S3,

∵S2= ADOH,S1=S△OAC= ACOH,S3= CDOH,

∴( ADOH)2= ACOH CDOH,

∴AD2=ACCD,

∵AC=AB.CD=AC﹣AD= ,

∴( 2= ),

整理得x2+x﹣1=0,

解得x= ,

經(jīng)檢驗(yàn):x= 是分式方程的根,且符合題意,

∴OD=


【解析】(1)由△AOB≌△AOC,推出∠C=∠B,由OA=OC,推出∠OAC=∠C=∠B,由∠ADO=∠ADB,即可證明△OAD∽△ABD;(2)如圖2中,當(dāng)△OCD是直角三角形時(shí),可以證明△ABC是等邊三角形即可解決問題;(3)如圖3中,作OH⊥AC于H,設(shè)OD=x.想辦法用x表示AD、AB、CD,再證明AD2=ACCD,列出方程即可解決問題;

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