【題目】如圖1,已知拋物線y=﹣x2+bx+cx軸交于A(﹣1,0),B3,0)兩點,與y軸交于C點,點P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一個動點,且點P的橫坐標(biāo)為t

1)求拋物線的表達(dá)式;

2)設(shè)拋物線的對稱軸為l,lx軸的交點為D.在直線l上是否存在點M,使得四邊形CDPM是平行四邊形?若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

3)如圖2,連接BC,PB,PC,設(shè)△PBC的面積為S.求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式;并求S最大時點P的坐標(biāo).

【答案】1y=﹣x2+2x+3;(2)在直線l上存在點M,使得四邊形CDPM是平行四邊形,點M的坐標(biāo)為(1,6);(3S=﹣t2+t,當(dāng)t 時,S有最大值,此時P,

【解析】

1)把點A、B坐標(biāo)代入y=﹣x2+bx+c,利用待定系數(shù)法求解即可;

(2)先求出C、D坐標(biāo),假設(shè)直線l上存在點M,使得四邊形CDPM是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形性質(zhì),求出點P坐標(biāo),進(jìn)而求出點M坐標(biāo);

(3)過點PPFy軸,交BC于點F,求出直線BC解析式,表示出線段PF長,根據(jù)即可得到S關(guān)于t的函數(shù)解析式,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

解:(1)將A(﹣10)、B3,0)代入y=﹣x2+bx+c,

,解得:,

∴拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3

2)在圖1中,連接PC,交拋物線對稱軸l于點E

∵拋物線y=﹣x2+bx+cx軸交于A(﹣1,0),B3,0)兩點,

∴拋物線的對稱軸為直線x1

當(dāng)x0時,y=﹣x2+2x+33

∴點C的坐標(biāo)為(03).

若四邊形CDPM是平行四邊形,則CEPE,DEME

∵點C的橫坐標(biāo)為0,點E的橫坐標(biāo)為1,

∴點P的橫坐標(biāo)t1×202,

∴點P的坐標(biāo)為(2,3),

∴點E的坐標(biāo)為(13),

∴點M的坐標(biāo)為(1,6).

故在直線l上存在點M,使得四邊形CDPM是平行四邊形,點M的坐標(biāo)為(16).

3)在圖2中,過點PPFy軸,交BC于點F

設(shè)直線BC的解析式為ymx+nm0),

B3,0)、C03)代入ymx+n,

,解得:,

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3

∵點P的坐標(biāo)為(t,﹣t2+2t+3),

∴點F的坐標(biāo)為(t,﹣t+3),

PF=﹣t2+2t+3﹣(﹣t+3)=﹣t2+3t,

∴當(dāng)t 時,S有最大值,此時P,).

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