Question

【題目】如圖，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC與BD相交于點O，限用無刻度直尺完成以下作圖：

（1）在圖1中作線段BC的中點P；

（2）在圖2中，在OB、OC上分別取點E、F，使EF∥BC．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）延長BA和CD，它們相交于點Q，然后延長QO交BC于P，則PB=PC，根據(jù)線段垂直平分線的逆定理可證明；

（2）連結AP交OB于E，連結DP交OC于F，則EF∥BC．分別證明△BEP≌△CFP，△BEP≌△CFP可得∠APB=∠DPC和∠PEF=∠PFE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平角的定義可得∠APB=∠PEF，即可證明EF//BC.

解：（1）如圖1，點P為所作，

理由如下：∵∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，BC=CB，

∴△ABC≌△DCB

∴∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC

∴QB=QC，OB=OC

∴Q,O在BC的垂直平分線上，

∴延長QO交BC于P，就有P為線段BC的中點；

（2）如圖2，EF為所作．

理由如下：∵△ABC≌△DCB

∴AB=DC，

又∵∠ABC=∠DCB，BP=PC

∴△ABP≌△DCP

∴∠APB=∠DPC

又∵∠DBC=∠ACB，BP=PC

∴△BEP≌△CFP

∴PE=PF

∴∠PEF=∠PFE，

∵∠APB+∠DPC+∠APD=180°

∠PEF+∠PFE+∠APD=180°

∴∠APB=∠PEF

∴EF//BC.