【題目】如圖,正方形ABCO的邊OA、OC在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)B坐標(biāo)為(6,6),將正方形ABCO繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α(0°<α<90°),得到正方形CDEF,ED交線段AB于點(diǎn)G,ED的延長(zhǎng)線交線段OA于點(diǎn)H,連CH、CG.

(1)求證:△CBG≌△CDG;
(2)求∠HCG的度數(shù);并判斷線段HG、OH、BG之間的數(shù)量關(guān)系,說(shuō)明理由;
(3)連結(jié)BD、DA、AE、EB得到四邊形AEBD,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,四邊形AEBD能否為矩形?如果能,請(qǐng)求出點(diǎn)H的坐標(biāo);如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)

證明:∵正方形ABCO繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到正方形CDEF

∴CD=CB,∠CDG=∠CBG=90°

在Rt△CDG和Rt△CBG中

∴△CDG≌△CBG(HL)


(2)

解:∵△CDG≌△CBG

∴∠DCG=∠BCG,DG=BG

在Rt△CHO和Rt△CHD中

∴△CHO≌△CHD(HL)

∴∠OCH=∠DCH,OH=DH

HG=HD+DG=HO+BG


(3)

解:四邊形AEBD可為矩形,如圖,

連接BD、DA、AE、EB

因?yàn)樗倪呅蜛EBD若為矩形,則需先為平行四邊形,即要對(duì)角線互相平分,合適的點(diǎn)只有G為AB中點(diǎn)的時(shí)候.

因?yàn)镈G=BG,所以此時(shí)同時(shí)滿足DG=AG=EG=BG,即平行四邊形AEBD對(duì)角線相等,則其為矩形.

所以當(dāng)G點(diǎn)為AB中點(diǎn)時(shí),四邊形AEBD為矩形.

∵四邊形DAEB為矩形

∴AG=EG=BG=DG

∵AB=6

∴AG=BG=3

設(shè)H點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,0)

則HO=x

∵OH=DH,BG=DG

∴HD=x,DG=3

在Rt△HGA中

∵HG=x+3,GA=3,HA=6﹣x

∴(x+3)2=32+(6﹣x)2

∴x=2

∴H點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0)


【解析】(1)求證全等,觀察兩個(gè)三角形,發(fā)現(xiàn)都有直角,而CG為公共邊,進(jìn)而再鎖定一條直角邊相等即可,因?yàn)槠錇檎叫涡D(zhuǎn)得到,所以邊都相等,即結(jié)論可證.(2)上問(wèn)的結(jié)論,本題一般都要使用才能求出結(jié)果.所以由三角形全等可以得到對(duì)應(yīng)邊、角相等,即BG=DG,∠DCG=∠BCG.同第一問(wèn)的思路你也容易發(fā)現(xiàn)△CDH≌△COH,也有對(duì)應(yīng)邊、角相等,即OH=DH,∠OCH=∠DCH.于是∠GCH為 四角的和,四角恰好組成直角,所以∠GCH=90°,且容易得到OH+BG=HG.(3)四邊形AEBD若為矩形,則需先為平行四邊形,即要對(duì)角線互相平分,合適的點(diǎn)只有G為AB中點(diǎn)的時(shí)候.由上幾問(wèn)知DG=BG,所以此時(shí)同時(shí)滿足DG=AG=EG=BG,即四邊形AEBD為矩形.求H點(diǎn)的坐標(biāo),可以設(shè)其為(x,0),則OH=x,AH=6﹣x.而B(niǎo)G為AB的一半,所以DG=BG=AG=3.又由(2),HG=x+3,所以Rt△HGA中,三邊都可以用含x的表達(dá)式表達(dá),那么根據(jù)勾股定理可列方程,進(jìn)而求出x,推得H坐標(biāo).

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