Question

已知正方形OABC如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中，B（4，4）．如圖1，若直角MPN的頂點(diǎn)P放置于正方形對角線邊AC、OB交點(diǎn)處，直角MPN繞頂點(diǎn)P 旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與線段OC、OA交于點(diǎn)M、N（不與點(diǎn)C、O、A重合）．在旋轉(zhuǎn)的過程中，易證：四邊形OMPN的面積為定值，且S_{四邊形OMPN}=4．
（1）如圖2，若直角MPN的頂點(diǎn)P放置于對角線OB上，且

BP

PO

=

1

3

，直角MPN繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與線段OC、OA交于點(diǎn)M、N（不與點(diǎn)C、O、A重合）．設(shè)CM=a，四邊形OMPN的面積為S，則S隨a的變化而變化嗎？若不變，請求出S的值；若變化，請求出S與a的關(guān)系式．
（2）如圖3，若直角MPN的頂點(diǎn)P放置于對角線AC上，且

CP

PA

=

1

3

，直角MPN繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與線段OC、OA交于點(diǎn)M、N（不與點(diǎn)C、O、A重合）．設(shè)CM=a，四邊形OMPN的面積為S=

 

． （直接寫出答案，不需證明；若S隨a的變化而不變，直接寫出S的值；若變化，直接寫出S與a的關(guān)系式．）

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)P作PE⊥OC于點(diǎn)E，作PF⊥OA于點(diǎn)F，利用OP平分∠COA，求證矩形EPFO為正方形，可得∠EPM=∠FPN，再求證△EPM≌△FPN，△OPE∽△OBC，利用其對應(yīng)邊成比例即可求得．
（2）根據(jù)

BP

PO

=

1

3

，設(shè)CM=a，可直接求得四邊形OMPN的面積．

解答：證明：（1）過點(diǎn)P作PE⊥OC于點(diǎn)E，作PF⊥OA于點(diǎn)F，
∵OP平分∠COA，
∴PE=PF，
∵∠PEO=∠PFO=∠EOF=90°，
∴∠EPF=90°，四邊形EPFO為矩形，
∴矩形EPFO為正方形
∠EPF-∠MPF=∠MPN-∠MPF，
即∠EPM=∠FPN，
∴△EPM≌△FPN，
∴S_{四邊形OMPN}=S_{四邊形EPFO}=PE²
∵△OPE∽△OBC，
∴

PE

BC

=

OP

OB

，
∴PE=3，
∴S_{四邊形OMPN}=S_{四邊形EPFO}=9．
（2）S=4a-1．

點(diǎn)評：此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點(diǎn)，特別是旋轉(zhuǎn)問題是個(gè)難點(diǎn)，要求學(xué)生應(yīng)具備一定的空間想象能力．