Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，且CD⊥AB于點(diǎn)E．

（1）求證：∠BCO=∠D；
（2）若CD= ，AE=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖．

∵OC=OB，

∴∠BCO=∠B．

∵∠B=∠D，

∴∠BCO=∠D

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，且CD⊥AB于點(diǎn)E，

∴CE= CD= ×4 =2 ，

在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2，

設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r，OE=OA﹣AE=r﹣2，

∴r2=（2 ）2+（r﹣2）2，

解得：r=3，

∴⊙O的半徑為3．

【解析】（1）由OB=OC，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，再由同弧所對(duì)的圓周角相等得到一對(duì)角相等，等量代換即可得證；（2）由弦CD與直徑AB垂直，利用垂徑定理得到E為CD的中點(diǎn)，求出CE的長(zhǎng)，在直角三角形OCE中，設(shè)圓的半徑OC=r，OE=OA﹣AE，表示出OE，利用勾股定理列出關(guān)于r的方程，求出方程的解即可得到圓的半徑r的值．
【考點(diǎn)精析】掌握勾股定理的概念和垂徑定理是解答本題的根本，需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．