Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分線交BC于點D，E為AB上的一點，DE＝DC，以D為圓心，DB長為半徑作⊙D，AB＝5，EB＝3．

（1）求證：AC是⊙D的切線；

（2）求線段AC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）8

【解析】

（1）過點D作DF⊥AC于F，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠B=90°，即AB⊥BC，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=DF，從而證得結論；

（2）根據(jù)已知DE=DC和（1）的結論可知DF⊥AC，AB⊥BC以及半徑DB=DF，得證Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），進而得證EB=FC,再由AB=AF，可知AC=AF+FC=AB+EB=8．

解：（1）過點D作DF⊥AC于F；

∵AB為⊙D的切線，

∴∠B=90°，

∴AB⊥BC

∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，

∴BD=DF，

∴AC與圓D相切；

（2）在△BDE和△DCF中；

∵BD=DF，DE=DC，

∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），

∴EB=FC．

∵AB=AF，

∴AB+EB=AF+FC，

即AB+EB=AC，

∴AC=5+3=8．