Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù) y＝ax2＋bx＋2 的圖象與 x 軸交于 A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn)C．

（1）求這個二次函數(shù)的關(guān)系解析式 ，x 滿足什么值時 y﹤0 ?

（2）點(diǎn) p 是直線 AC 上方的拋物線上一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn) P，使△ACP 面積最大？若存在，求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由

（3）點(diǎn) M 為拋物線上一動點(diǎn)，在 x 軸上是否存在點(diǎn) Q，使以 A、C、M、Q 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）， 或；（2）P；（3）

【解析】

（1）將點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0）帶入y＝ax2＋bx＋2得到二元一次方程組，解得即可得出函數(shù)解析式；又從圖像可以看出x 滿足什么值時 y﹤0；

（2）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用割補(bǔ)法將△ACP 面積轉(zhuǎn)化為，帶入各個三角形面積算法可得出與m之間的函數(shù)關(guān)系，分析即可得出面積的最大值；

（3）分兩種情況討論，一種是CM平行于x軸，另一種是CM不平行于x軸，畫出點(diǎn)Q大概位置，利用平行四邊形性質(zhì)即可得出關(guān)于點(diǎn)Q坐標(biāo)的方程，解出即可得到Q點(diǎn)坐標(biāo).

解：（1）將A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)帶入y＝ax2＋bx＋2可得：

解得：

∴二次函數(shù)解析式為.

由圖像可知，當(dāng)或時y﹤0；

綜上：二次函數(shù)解析式為，當(dāng)或時y﹤0；

（2）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，如圖連接PO，作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N.

PM=，PN=，AO=3.

當(dāng)時，，所以OC=2

，

∵

∴函數(shù)有最大值，

當(dāng)時，有最大值，

此時；

所以存在點(diǎn)，使△ACP 面積最大.

（3）存在，

假設(shè)存在點(diǎn)Q使以 A、C、M、Q 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形

①若CM平行于x軸，如下圖，有符合要求的兩個點(diǎn)此時=

∵CM∥x軸，

∴點(diǎn)M、點(diǎn)C（0,2）關(guān)于對稱軸對稱，

∴M（﹣2,2），

∴CM=2.

由=；

②若CM不平行于x軸，如下圖，過點(diǎn)M作MG⊥x軸于點(diǎn)G，

易證△MGQ≌△COA，得QG=OA=3，MG=OC=2，即.

設(shè)M（x，﹣2），則有，解得：.

又QG=3,∴，

∴

綜上所述，存在點(diǎn)P使以 A、C、M、Q 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

Q點(diǎn)坐標(biāo)為：

.