Question

【題目】在菱形ABCD中，∠BAD=α，E為對(duì)角線AC上的一點(diǎn)（不與A，C重合），將射線EB繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角之后，所得射線與直線AD交于F點(diǎn)．試探究線段EB與EF的數(shù)量關(guān)系．小宇發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E的位置，α和β的大小都不確定，于是他從特殊情況開(kāi)始進(jìn)行探究．

（1）如圖1，當(dāng)α=β=90°時(shí)，菱形ABCD是正方形．小宇發(fā)現(xiàn)，在正方形中，AC平分∠BAD，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．由角平分線的性質(zhì)可知EM=EN，進(jìn)而可得△EMF≌△ENB，并由全等三角形的性質(zhì)得到EB與EF的數(shù)量關(guān)系為 ．
（2）如圖2，當(dāng)α=60°，β=120°時(shí)，
①依題意補(bǔ)全圖形；
②請(qǐng)幫小宇繼續(xù)探究（1）的結(jié)論是否成立．若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，
請(qǐng)舉出反例說(shuō)明；
（3）小宇在利用特殊圖形得到了一些結(jié)論之后，在此基礎(chǔ)上對(duì)一般的圖形進(jìn)行了探究，設(shè)∠ABE=γ，若旋轉(zhuǎn)后所得的線段EF與EB的數(shù)量關(guān)系滿足（1）中的結(jié)論，請(qǐng)直接寫出角α，β，γ滿足的關(guān)系：

Answer 1

【答案】
（1）EB=EF
（2）

解：①補(bǔ)全圖形如圖2所示，

②結(jié)論依然成立EB=EF；

證法1：如圖3，

過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AF于M，EN⊥AB于N．

∵四邊形ABCD為菱形，

∴∠CAD=∠CAB．

∵EM⊥AF，EN⊥AB．

∴∠FME=∠N=90°，EM=EN，

∵∠BAD=60°，∠BEF=120°，

∴∠F+∠ABE=360°﹣∠BAD﹣∠BEF=180°．

∵∠ABE+∠EBN=180°，

∴∠F=∠EBN；

在△EFM與△EBN中，

∴△EFM≌△EBN．

∴EF=EB；

證法2：如圖4，連接ED

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=AB，∠DAC=∠BAE．

又∵AE=AE，

∴△ADE≌△ABE．

∴ED=EB，∠ADE=∠ABE，

又∵∠DAB=60°，∠BEF=120°．

∴∠F+∠ABE=180°．

又∵∠ADE+∠FDE=180°，

∴∠F=∠FDE．

∴EF=ED．

∴EF=EB．

（3）α+β=180°或 °
【解析】解：（1）EB=EF，所以答案是：EB=EF；（3）

如圖3，由（2）的證法1知，△FEM≌△BEN，
∴∠FEM=∠BEN，
∴∠BEF=∠MEN，
在四邊形AMEN中，∠BAC+∠MEN=180°，
∴∠BAC+∠BEF=180°，
∴α+β=180°
如圖4，

由（2）的證法2知，△ADE≌△ABE，
∴∠ADE=∠ABE=γ，∠DAE=∠BAE= ，∠AEB=∠AED= ，
根據(jù)三角形的內(nèi)角和得，∠ADE+∠DAE+∠AED=180°，
∴ °．
所以答案是：α+β=180°或 °．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用菱形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半．