【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,BC=2,點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn),E是直線BC上一動(dòng)點(diǎn),將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF,連接AF、EF,在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段AF的最小值為_____.
【答案】+1
【解析】
如圖,作DM⊥BC于M,FJ⊥DM于J交AB于N.首先說(shuō)明點(diǎn)F在直線l上運(yùn)動(dòng)(直線l與直線AB之間的距離為),根據(jù)垂線段最短可知,當(dāng)AF⊥直線l時(shí),AF的值最短,最小值為.
解:如圖,作DM⊥BC于M,FJ⊥DM于J交AB于N.
∵Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,BC=2,
∴AC=2BC=4,AB=BC=2,
∵AD=DC.DM∥AB,
∴DM=AB=,BM=CM=1,
易證四邊形BMJN是矩形,
∴JN=BM=1,
∵∠FDJ+∠EDM=90°,∠EDM+∠DEM=90°,
∴∠FDJ=∠DEM,∵∠FJD=∠DME=90°,
∴△FJD≌△DME(AAS),
∴FJ=DM=,
∴FN=FJ+JN=1+,
∴點(diǎn)F在直線l上運(yùn)動(dòng)(直線l與直線AB之間的距離為+1),
根據(jù)垂線段最短可知,當(dāng)AF⊥直線l時(shí),AF的值最短,最小值為:+1,
故答案為:+1.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于平面內(nèi)的點(diǎn) P 和圖形 M,給出如下定義:以點(diǎn) P 為圓心,以 r 為半徑作⊙P,使得圖形 M 上的所有點(diǎn)都在⊙P 的內(nèi)部(或邊上),當(dāng) r 最小時(shí),稱(chēng)⊙P 為圖形 M 的 P 點(diǎn) 控制圓,此時(shí),⊙P 的半徑稱(chēng)為圖形 M 的 P 點(diǎn)控制半徑.已知,在平面直角坐標(biāo)系中, 正方形 OABC 的位置如圖所示,其中點(diǎn) B(2,2)
(1)已知點(diǎn) D(1,0),正方形 OABC 的 D 點(diǎn)控制半徑為 r1,正方形 OABC 的 A 點(diǎn) 控制半徑為 r2,請(qǐng)比較大。r1 r2;
(2)連接 OB,點(diǎn) F 是線段 OB 上的點(diǎn),直線 l:y= x+b;若存在正方形 OABC 的 F點(diǎn)控制圓與直線 l 有兩個(gè)交點(diǎn),求 b 的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】矩形紙片ABCD中,已知AD=8,AB=6,E是邊BC上的點(diǎn),以AE為折痕折疊紙片,使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處,連接FC,當(dāng)△EFC為直角三角形時(shí),BE的長(zhǎng)為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】目前世界上最高的電視塔是廣州新電視塔.如圖所示,新電視塔高AB為610米,遠(yuǎn)處有一棟大樓,某人在樓底C處測(cè)得塔頂B的仰角為45°,在樓頂D處測(cè)得塔頂B的仰角為39°.
(1)求大樓與電視塔之間的距離AC;
(2)求大樓的高度CD(精確到1米).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,以為直徑的交于點(diǎn),.
(1)判斷與的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)求證:;
(3)在上取一點(diǎn),若,,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】合與實(shí)踐﹣﹣探究圖形中角之間的等量關(guān)系及相關(guān)問(wèn)題.
問(wèn)題情境:
正方形ABCD中,點(diǎn)P是射線DB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AP于點(diǎn)E,點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱(chēng),連接CQ,設(shè)∠DAP=α(0°<α<135°),∠QCE=β.
初步探究:
(1)如圖1,為探究α與β的關(guān)系,勤思小組的同學(xué)畫(huà)出了0°<α<45°時(shí)的情形,射線AP與邊CD交于點(diǎn)F.他們得出此時(shí)α與β的關(guān)系是β=2α.借助這一結(jié)論可得當(dāng)點(diǎn)Q恰好落在線段BC的延長(zhǎng)線上(如圖2)時(shí),α= °,β= °;
深入探究:
(2)敏學(xué)小組的同學(xué)畫(huà)出45°<α<90°時(shí)的圖形如圖3,射線AP與邊BC交于點(diǎn)G.請(qǐng)猜想此時(shí)α與β之間的等量關(guān)系,并證明結(jié)論;
拓展延伸:
(3)請(qǐng)你借助圖4進(jìn)一步探究:①當(dāng)90°<α<135°時(shí),α與β之間的等量關(guān)系為 ;
②已知正方形邊長(zhǎng)為2,在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)α=β時(shí),PQ的長(zhǎng)為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A(﹣1,0)、B(5,0)、C(0,﹣5)三點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)當(dāng)0<x<5時(shí),y的取值范圍為 ;
(3)點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn),若S△PAB=21,直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知A(-4,0)、B(0,3),一次函數(shù)與坐標(biāo)軸分別交于C、D兩點(diǎn),G為CD上一點(diǎn),且DG:CG=1:2,連接BG,當(dāng)BG平分∠ABO時(shí),則b的值為____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)A,與y軸正半軸相交于點(diǎn)B,,直線l過(guò)A、B兩點(diǎn),點(diǎn)D為線段AB上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)C,交拋物線于點(diǎn)E.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)F,設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為x,四邊形FAEB的面積為S,請(qǐng)寫(xiě)出S與x的函數(shù)關(guān)系式,并判斷S是否存在最大值,如果存在,求出這個(gè)最大值;并寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)連接BE,是否存在點(diǎn)D,使得和相似?若存在,求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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