Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D為BC邊的中點(diǎn)，以AD上一點(diǎn)O為圓心的⊙O和AB、BC均相切，則⊙O的半徑為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：過(guò)點(diǎn)0作OE⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥BC于點(diǎn)F．
∵AB、BC是⊙O的切線，
∴點(diǎn)E、F是切點(diǎn)，
∴OE、OF是⊙O的半徑；
∴OE=OF；
在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，
∴由勾股定理，得BC=4；
又∵D是BC邊的中點(diǎn)，
∴S△ABD=S△ACD ，
又∵S△ABD=S△ABO+S△BOD ，
∴ ABOE+ BDOF= CDAC，即5×OE+2×0E=2×3，解得OE= ，∴⊙O的半徑是 ．故答案為： ．
過(guò)點(diǎn)0作OE⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥BC于點(diǎn)F．根據(jù)切線的性質(zhì)，知OE、OF是⊙O的半徑；然后由三角形的面積間的關(guān)系（S△ABO+S△BOD=S△ABD=S△ACD）列出關(guān)于圓的半徑的等式，求得圓的半徑即可．本題考查了切線的性質(zhì)與三角形的面積．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．