【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0),B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,﹣3).

(1)求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)M坐標(biāo);

(2)求BCM面積與ABC面積的比;

(3)若P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過P作射線PQAC交拋物線于點(diǎn)Q,隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)Q,使以A,P,Q,C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在,請(qǐng)求出Q點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,M(1,﹣4).(2)SBCM:SABC=3:6=1:2.(3)Q點(diǎn)為(2,﹣3)或(1+,3)或(1﹣,3)

【解析】

試題分析:(1)有拋物線與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0),B(3,0)兩點(diǎn),則可設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x﹣3).由與y軸交于點(diǎn)C(0,﹣3),則代入易得解析式,頂點(diǎn)易知.

(2)求BCM面積與ABC面積的比,由兩三角形不為同高或同底,所以考慮求解求出兩三角形面積再作比即可.因?yàn)镾BCM=S梯形OCMD+SBMD﹣SBOC,SABC=ABOC,則結(jié)論易得.

(3)由四邊形為平行四邊形,則對(duì)邊PQ、AC平行且相等,過Q點(diǎn)作x軸的垂線易得Q到x軸的距離=OC=3,又(1)得拋物線解析式,代入即得Q點(diǎn)橫坐標(biāo),則Q點(diǎn)可求.

解:(1)設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x﹣3),

拋物線過點(diǎn)(0,﹣3),

﹣3=a(0+1)(0﹣3),

a=1

拋物線解析式為y=(x+1)(x﹣3)=x2﹣2x﹣3,

y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,

M(1,﹣4).

(2)如圖1,連接BC、BM、CM,作MDx軸于D,

SBCM=S梯形OCMD+SBMD﹣SBOC

=(3+4)1+2×4﹣33

=+=3

SABC=ABOC=43=6,

SBCM:SABC=3:6=1:2.

(3)存在,理由如下:

①如圖2,當(dāng)Q在x軸下方時(shí),作QEx軸于E,

四邊形ACQP為平行四邊形,

PQ平行且相等AC,

∴△PEQ≌△AOC,

EQ=OC=3,

﹣3=x2﹣2x﹣3,

解得 x=2或x=0(與C點(diǎn)重合,舍去),

Q(2,﹣3).

②如圖3,當(dāng)Q在x軸上方時(shí),作QFx軸于F,

四邊形ACPQ為平行四邊形,

QP平行且相等AC,

∴△PFQ≌△AOC

FQ=OC=3,

3=x2﹣2x﹣3,

解得 x=1+或x=1﹣,

Q(1+,3)或(1﹣,3).

綜上所述,Q點(diǎn)為(2,﹣3)或(1+,3)或(1﹣,3)

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根據(jù)圖象解答下列問題:

1)體育場離張強(qiáng)家多遠(yuǎn)?張強(qiáng)從家到體育場用了多少時(shí)間?

2)體育場離文具店多遠(yuǎn)?

3)張強(qiáng)在文具店停留了多少時(shí)間?

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(1)該班共有   名學(xué)生;

(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

(3)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,乒乓球部分所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為   

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1) 這個(gè)八年級(jí)的學(xué)生總數(shù)在什么范圍內(nèi)?

2) 若按批發(fā)價(jià)購買6枝與按零售價(jià)購買5枝的款相同,那么這個(gè)學(xué)校八年級(jí)學(xué)生有多少人?

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1)圖中BD   ,   ),C   +1,   );

2)若甲蟲A的爬行路線為ABCD,計(jì)算甲蟲A爬行的路程?

3)若甲蟲A的爬行路線依次為(+2,+3),(﹣2,+1),(+3,﹣5),(﹣4+2),最終到達(dá)點(diǎn)P處,請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出甲蟲A的爬行路線示意圖及最終點(diǎn)P的位置.

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