Question

（2012•平谷區(qū)二模）如圖是一個(gè)長方體，AB=3，BC=5，AF=6，要在長方體上系一根繩子連接AG，繩子與DE交于點(diǎn)P，當(dāng)所用繩子的長最短時(shí)，AP的長為（　�。�

• A．10
• B．

  34

• C．8
• D．

  25

  4

Answer 1

分析：將長方體右側(cè)的面展開，與上面的面在同一個(gè)平面內(nèi)，如圖所示，連接AG，此時(shí)所用的繩子最短，由正方體的中平行的棱長相等，得到DC=AB=EG=3，AD=BC=5，DE=AF=6，由EG與AD平行，得到兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出三角形EPG與三角形APD相似，由相似得比例，將EG，AD的長代入求出EP的長，進(jìn)而求出PD的，在直角三角形APD中，由AD與PD的長，利用勾股定理即可求出AP的長．

解答：解：將長方體右側(cè)的面展開，與上面的面在同一個(gè)平面內(nèi)，連接AG，與ED交于P點(diǎn)，此時(shí)繩子的長最短，如圖所示：
可得出：DC=AB=EG=3，AD=BC=5，DE=AF=6，
∵EG∥AD，
∴∠EGP=∠DAP，∠PEG=∠PDA，
∴△EPG∽△DPA，
∴

EG

DA

=

EP

DP

=

EP

ED-EP

，即

3

5

=

EP

6-EP

，
解得：EP=

9

4

，
∴PD=ED-EP=6-

9

4

=

15

4

，
在Rt△APD中，PD=

15

4

，AD=5，
根據(jù)勾股定理得：AP=

PD2+AD2

=

25

4

．
故選D

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平面展開-最短路徑問題，涉及的知識(shí)有：平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，利用了轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的思想，立體圖形的最短路徑問題常常轉(zhuǎn)化為平面圖形，利用兩點(diǎn)之間線段最短來解決．