Question

【題目】如圖 1，在△ ABC中，∠ACB = 2∠B, ∠BAC的平分線AO交BC于點D,點H為AO上一動點，過點H作直線l⊥ AO于H,分別交直線AB、AC、BC于點N、E、M

（1）當直線l經過點C時(如圖 2)，求證:NH = CH；

（2）當M是BC中點時，寫出CE和CD之間的等量關系，并加以證明;

（3）請直接寫出BN、CE、CD之間的等量關系.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）CD=2CE，理由見解析；（3）①當點M在線段BC上時，CD=BN+CE；

②當點M在線段BC的延長線時，CD=BN-CE；③當點M在線段CB的延長線上時，CD=CE-BN

【解析】

（1）根據AD平分∠BAC和CN⊥AD可證△AHC≌△AHN，從而可以得到答案；

（2）過點C作交AB于點, 過點C作CG∥AB交直線l于點G，結合（1）再證△BNM≌△CGM即可；

（3）結合（2）的證明過程，很容易判斷BN、CE、CD之間的等量關系要分三種情況討論：當點M在線段BC上時；當點M在線段BC的延長線時；當點M在線段CB的延長線上時.

證明：（1）∵AD平分∠BAC

∴∠BAD=∠CAD

∵CN⊥AD

∴∠AHC=∠AHN=90°

∵AH=AH

∴△AHC≌△AHN（ASA）

∴CH=NH

（2）

當M是BC中點時，CE和CD的等量關系為CD=2CE，

理由：證明：過點C作交AB于點,

連接，由（1）可知AO是的中垂線，

∴

∴

∴

又∵

∴

∴

∴

同理（1）可知△ANH≌AEH（ASA）

∴AN=AE，∠3=∠4

∴

即，

過點C作CG∥AB交直線l于點G，

則∠4=∠2，∠B=∠1

∴∠2=∠3

∴CG=CE，

∵M是BC的中點，

∴BM=CM

在△BNM和△CGM中，

∴△BNM≌△CGM（ASA）

∴BN=CG，

又∵CG=CE，

∴BN=CE，

∴；

（3）

結合（2）可知BN、CE、CD之間的等量關系：

當點M在線段BC上時，CD=BN+CE；

當點M在線段BC的延長線時，CD=BN-CE；

當點M在線段CB的延長線上時，CD=CE-BN.