Question

【題目】如圖：有一塊余料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=120mm，高AD=80mm．

（1）如果把它加工成長方形零件，使長方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，設(shè)長方形寬xmm，面積為ymm2，那么寬為多少時(shí)，其面積最大．最大面積是多少？

(2）若以BC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，B（-60，0），AD=BD．

求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式；

在此拋物線對稱軸上是否存在一點(diǎn)R，使以A、B、R為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形．若存在，請直接寫出R點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1） 當(dāng)x＝40時(shí)，y最大值＝2400 ；（2）；（3）見解析．

【解析】分析：（1）設(shè)PQ=x，利用相似三角形的性質(zhì)可得出QN=﹣x+120，根據(jù)矩形的面積公式即可得出y=﹣x2+120x，配方后即可找出面積的最大值；

（2）①依照題意畫出圖形，由AD的長度可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

②設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為（0，n），則AB=80，AR=，BR=，分∠ABR=90°、∠ARB=90°和∠BAR=90°三種情況考慮，利用勾股定理即可得出關(guān)于n的一元一次（或一元二次）方程，解之即可得出結(jié)論．

詳解：（1）∵PQ⊥BC，MN⊥BC，AD⊥BC，∴PQ∥AD，MN∥AD，∴△BPQ∽△BAD，△CAD∽△CMN，∴BQ=BD，CN=CD．

設(shè)PQ=x，則QN=BC﹣BQ﹣CN=120﹣（BD+CD）=﹣x+120，

∴y=PQQN=x（﹣x+120）=﹣x2+120x=﹣（x﹣40）2+2400，

∴當(dāng)x=40時(shí)，y取最大值2400，∴寬為40mm時(shí)，其面積最大．最大面積是2400mm2．

（2）①依照題意畫出圖形，如圖所示．

設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+c，將B（﹣60，0）、A（20，80）代入y=ax2+c，，解得：，∴過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式為y=﹣x2+90．

②假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為（0，n），則AB=80，AR=，BR=．

分三種情況考慮：

①當(dāng)∠ABR=90°時(shí)，有AR2=AB2+BR2，即400+（80﹣n）2=12800+3600+n2，解得：n=﹣60，此時(shí)點(diǎn)R的坐標(biāo)為（0，﹣60）；

②當(dāng)∠ARB=90°時(shí)，有AB2=AR2+BR2，即12800=400+（80﹣n）2+3600+n2，整理得：n2﹣80n﹣1200=0，解得：n1=，n2=，此時(shí)點(diǎn)R的坐標(biāo)為（0，）或（0，）；

③當(dāng)∠BAR=90°時(shí)，有BR2=AB2+AR2，即3600+n2=12800+400+（80﹣n）2，解得：n=100，此時(shí)點(diǎn)R的坐標(biāo)為（0，100）．

綜上所述：在此拋物線對稱軸上存在一點(diǎn)R，使以A、B、R為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，點(diǎn)R的坐標(biāo)為（0，﹣60）或（0，）或（0，）或（0，100）．