【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中,P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)(不含B、C兩點(diǎn)),將 ABP沿直線AP翻折,點(diǎn)B落在點(diǎn)E處;在CD上有一點(diǎn)M,使得將 CMP沿直線MP翻折后,點(diǎn)C落在直線PE上的點(diǎn)F處,直線PE交CD于點(diǎn)N,連接MA,NA.則以下結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)有( ).
① CMP∽ BPA;
②四邊形AMCB的面積最大值為10;
③當(dāng)P為BC中點(diǎn)時(shí),AE為線段NP的中垂線;
④線段AM的最小值為2 ;
⑤當(dāng) ABP≌ AND時(shí),BP=4 -4.
A.①②③
B.②③⑤
C.①④⑤
D.①②⑤
【答案】D
【解析】解:∵∠APB=∠APE,∠MPC=∠MPN,
∵∠CPN+∠NPB=180°,
∴2∠NPM+2∠APE=180°,
∴∠MPN+∠APE=90°,
∴∠APM=90°,
∵∠CPM+∠APB=90°,∠APB+∠PAB=90°,
∴∠CPM=∠PAB,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=CB=DC=AD=4,∠C=∠B=90°,
∴△CMP∽△BPA.故①正確,
設(shè)PB=x,則CP=4-x,
∵△CMP∽△BPA,
∴= ,
∴CM=x(4-x),
∴S四邊形AMCB=[4+x(4-x)]×4=-x2+2x+8=-(x-2)2+10,
∴x=2時(shí),四邊形AMCB面積最大值為10,故②正確,
易證得△ADN≌△AEN,當(dāng)PB=PC=PE=2時(shí),設(shè)ND=NE=y,
在RT△PCN中,(y+2)2=(4-y)2+22解得y= ,
∴NE≠EP,故③錯(cuò)誤,
作MG⊥AB于G,
∵AM== ,
∴AG最小時(shí)AM最小,
∵AG=AB-BG=AB-CM=4-x(4-x)=(x-2)2+3,
∴x=2時(shí),AG最小值=3,
∴AM的最小值==5,故④錯(cuò)誤.
∵△ABP≌△ADN時(shí),
∴∠PAB=∠DAN=22.5°,在AB上取一點(diǎn)K使得AK=PK,設(shè)PB=z,
∴∠KPA=∠KAP=22.5°
∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°,
∴∠BPK=∠BKP=45°,
∴PB=BK=z,AK=PK=z,
∴z+z=4,
∴z=4-4,
∴PB=4-4,故⑤正確.
故正確的為①②⑤.
故選D.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的相似三角形的判定與性質(zhì),需要了解相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是規(guī)格為8×8的正方形網(wǎng)格,請(qǐng)?jiān)谒o的網(wǎng)格中按下列要求操作:
(1)請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系,使點(diǎn)A坐標(biāo)為(﹣2,4),點(diǎn)B坐標(biāo)為(﹣4,2);
(2)在第二象限內(nèi)的格點(diǎn)上畫一點(diǎn)C,使點(diǎn)C與線段AB組成一個(gè)以AB為底的等腰三角形,且腰長(zhǎng)是無(wú)理數(shù),則寫出點(diǎn)C的坐標(biāo),寫出△ABC的周長(zhǎng)(結(jié)果保留根號(hào));
(3)畫出△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1;并寫出點(diǎn)A1、B1、C1的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①,已知線段AB=20cm,點(diǎn)C為AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D,E分別是AC和BC的中點(diǎn)
(1)若點(diǎn)C恰好是AB中點(diǎn),則DE的長(zhǎng)是多少?(直接寫出結(jié)果)
(2)若BC=14cm,求DE的長(zhǎng)
(3)試說(shuō)明不論BC取何值(不超過(guò)20cm),DE的長(zhǎng)不變
(4)知識(shí)遷移:如圖②,已知∠AOB=130°,過(guò)角的內(nèi)部任一點(diǎn)C畫射線OC,若OD,OE分別平分∠AOC和∠BOC,試求出∠DOE的大小,并說(shuō)明∠DOE的大小與射線OC的位置是否有關(guān)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】矩形ABCD中,AD=8cm,AB=6cm,動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C開(kāi)始沿邊CB向點(diǎn)B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)沿邊CD向點(diǎn)D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng),E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)停止,F(xiàn)點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D停止.如圖可得到矩形CFHE,設(shè)F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(單位:s),此時(shí)矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面積為y(單位:cm2),則y與x之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示大致是如圖中的( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,△ABC是等邊三角形,D、E分別是BC、AC上一點(diǎn),且AE=CD,AD,AD、BE交于P,過(guò)B作BQ⊥AD于Q,若QP=3cm,PE=1cm,求AD的長(zhǎng)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)是等邊內(nèi)一點(diǎn), .將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得,連接.
(1)求證: 是等邊三角形;
(2)當(dāng)時(shí),試判斷的形狀,并說(shuō)明理由;
(3)探究:當(dāng)為多少度時(shí), 是等腰三角形?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在如圖所示的5×5的方格紙中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)A、B、C均為格點(diǎn)(格點(diǎn)是指每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)).
(1)按下列要求畫圖:
①標(biāo)出格點(diǎn)D,使CD∥AB,并畫出線段CD;
②標(biāo)出格點(diǎn)E,使CE⊥AB,并畫出線段CE.
(2)CD與CE的關(guān)系是 .
(3)計(jì)算△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,以△ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心的圓,經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn),且與BC邊交于點(diǎn)E,D為BE的下半圓弧的中點(diǎn),連接AD交BC于F,若AC=FC.
(1)求證:AC是⊙O的切線:
(2)若BF=8,DF= ,求⊙O的半徑r.
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