Question

【題目】如圖，E、F分別是 四邊形ABCD的邊AB、CD上的點，AF與DE相交于點P，BF與CE相交于點Q，記S1＝S△APD，S2＝S△BQC，四邊形EQFP的面積為S．

（1）若四邊形ABCD為平行四邊形，如圖1，求證：S＝S1+S2；

（2）若四邊形ABCD為一般凸多邊形，AB∥CD，如圖2，求證：S＝S1+S2．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）證明見解析

【解析】

（1）連接EF兩點，由三角形的面積公式我們可以推出S△EFC＝S△BCF，S△EFD＝S△ADF，所以S△EFG＝S△BCQ，S△EFP＝S△ADP，因此可以推出陰影部分的面積就是S△APD+S△BQC．

（2）連接EF，證明方法類似；

證明：（1）連接E、F兩點，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴△EFC的FC邊上的高與△BCF的FC邊上的高相等，

∴S△EFC＝S△BCF，

∴S△EFQ＝S△BCQ，

同理：S△EFD＝S△ADF，

∴S△EFP＝S△ADP，

∴S＝S1+S2．

（2）連接EF．

∵AB∥CD，

∴△EFC的FC邊上的高與△BCF的FC邊上的高相等，

∴S△EFC＝S△BCF，

∴S△EFQ＝S△BCQ，

同理：S△EFD＝S△ADF，

∴S△EFP＝S△ADP，

∴S＝S1+S2．