【題目】如圖,四邊形ABCD是邊長為a的正方形,點(diǎn)G,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F.
(1)證明:∠BAE=∠FEC;
(2)證明:△AGE≌△ECF;
(3)求△AEF的面積.
【答案】
(1)證明:∵∠AEF=90°,
∴∠FEC+∠AEB=90°;
在Rt△ABE中,∠AEB+∠BAE=90°,
∴∠BAE=∠FEC
(2)證明:∵G,E分別是正方形ABCD的邊AB,BC的中點(diǎn),
∴AG=GB=BE=EC,且∠AGE=180°﹣45°=135°;
又∵CF是∠DCH的平分線,
∴∠DCF=∠FCH=45°,
∠ECF=90°+45°=135°;
在△AGE和△ECF中, ;
∴△AGE≌△ECF;
(3)解:由△AGE≌△ECF,得AE=EF;
又∵∠AEF=90°,
∴△AEF是等腰直角三角形;
∵AB=a,E為BC中點(diǎn),
∴BE= BC= AB= a,
根據(jù)勾股定理得:AE= = a,
∴S△AEF= a2.
【解析】(1)由于∠AEF是直角,則∠BAE和∠FEC同為∠AEB的余角,由此得證;(2)根據(jù)正方形的性質(zhì),易證得AG=EC,∠AGE=∠ECF=135°;再加(1)得出的相等角,可由ASA判定兩個(gè)三角形全等;(3)在Rt△ABE中,根據(jù)勾股定理易求得AE2;由(2)的全等三角形知:AE=EF,即△AEF是等腰Rt△,因此其面積為AE2的一半,由此得解.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,所有正三角形的一邊平行于x軸,一頂點(diǎn)在y軸上,從內(nèi)到外,它們的邊長依次為2,4,6,8,…,頂點(diǎn)依次用A1、A2、A3、A4、…表示,其中A1A2與x軸、底邊A1A2與A4A5、A4A5與A7A8、…均相距一個(gè)單位,則A2017的坐標(biāo)是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,長方形ABCD中,AD=BC=6,AB=CD=4.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度沿A→B→C→D→A的方向運(yùn)動(dòng),回到點(diǎn)A停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)當(dāng)t= 時(shí),點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C;當(dāng)t= 時(shí),點(diǎn)P回到點(diǎn)A;
(2)△ABP面積取最大值時(shí)t的取值范圍;(3)當(dāng)△ABP的面積為3時(shí),求t的值;
(4)若點(diǎn)P出發(fā)時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā),以每秒2個(gè)單位的速度沿A→D→C→B→A的方向運(yùn)動(dòng),回到點(diǎn)A停止運(yùn)動(dòng).請問:P 、Q何時(shí)在長方形ABCD的邊上相距1個(gè)單位長度?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有一個(gè)長方形,若它的長增加 9cm,則變?yōu)閷挼膬杀;若它的寬增?/span> 5cm,則只比長少 1cm.
(1) 這個(gè)長方形的長和寬各是多少 cm?
(2) 將這個(gè)長方形的長減少 a cm,寬增加 b cm,使它變成一個(gè)正方形,若 a,b均為正整數(shù),所得正方形的周長不大于原長方形的周長,求這個(gè)正方形的最大面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,已知∠AOB=80°,OC是∠AOB內(nèi)的一條射線,OD,OE分別平分∠BOC和∠COA.
(1)求∠DOE的度數(shù);
(2)當(dāng)射線OC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的左側(cè)時(shí)如圖②(或旋轉(zhuǎn)到OA的右側(cè)時(shí)如圖③),OD,OE仍是∠BOC和∠COA的平分線,此時(shí)∠DOE的大小是否和(1)中的答案相同?若相同,請選取一種情況寫出你的求解過程;若不相同,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是菱形,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,DH⊥AB于點(diǎn)H,連接OH,求證:∠DHO=∠DCO.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列解題過程:
計(jì)算:(-5)÷×20.
解:原式=(-5)÷×20 (第一步)
=(-5)÷(-1) (第二步)
=-5. (第三步)
(1)上述解題過程中有兩處錯(cuò)誤:
第一處是第________步,錯(cuò)誤的原因是__________________________;
第二處是第________步,錯(cuò)誤的原因是_______________________.
(2)把正確的解題過程寫出來.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某服裝廠生產(chǎn)一種西裝和領(lǐng)帶,西裝每套定價(jià)200元,領(lǐng)帶每條定價(jià)40元。廠方在開展促銷活動(dòng)期間,向客戶提供兩種優(yōu)惠方案:
①買一套西裝送一條領(lǐng)帶;②西裝和領(lǐng)帶都按定價(jià)的90%付款,F(xiàn)某客戶要到該服裝廠購買西裝20套,領(lǐng)帶x條():
(1)若該客戶按方案①購買,需付款______________元(用含x的代數(shù)式表示);若該客戶按方案②購買,需付款________________元(用含x的代數(shù)式表示);
(2)若x=30,通過計(jì)算說明此時(shí)按哪種方案購買較為合算?
(3)當(dāng)x=30時(shí),你能給出一種更為省錢的購買方案嗎?試寫出你的購買方法。
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