【題目】在等邊中,點(diǎn)為上一點(diǎn),連接,直線與分別相交于點(diǎn),且.
(1)如圖(1),寫出圖中所有與相似的三角形,并選擇其中的一對給予證明;
(2)若直線向右平移到圖(2)、圖(3)的位置時(shí),其他條件不變,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立請寫出來(不證明),若不成立,請說明理由;
(3)探究:如圖(1),當(dāng)滿足什么條件時(shí)(其他條件不變),?請寫出探究結(jié)果,并說明理由(說明:結(jié)論中不得含有未標(biāo)識的字母).
【答案】(1) △BPF∽△EBF,△BPF∽△BCD;(2)均成立,分別為△BPF∽△EBF,△BPF∽△BCD,(3)當(dāng)BD平分∠ABC時(shí),PF=PE.
【解析】
(1)由兩角對應(yīng)相等的三角形是相似三角形找出△BPF∽△EBF,△BPF∽△BCD,這兩組三角形都可由一個(gè)公共角和一組60°角來證明;
(2)成立,證法同(1);
(3)先看PF=PE能得出什么結(jié)論,根據(jù)△BPF∽△EBF,可得BF2=PFPE=3PF2,因此,因?yàn)?/span>,可得∠PFB=90°,則∠PBF=30°,由此可得當(dāng)BD平分∠ABC時(shí),PF=PE.
解:(1)△BPF∽△EBF,△BPF∽△BCD,證明如下:
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,
∵∠BPF=60°
∴∠BPF=∠EBF=60°,
∵∠BFP=∠BFE,
∴△BPF∽△EBF;
∵∠BPF=∠BCD=60°,∠PBF=∠CBD,
∴△BPF∽△BCD;
(2)均成立,分別為△BPF∽△EBF,△BPF∽△BCD,證明如下:
如圖(2)∵∠BPF=∠EBF=60°,∠BFP=∠BFE,
∴△BPF∽△EBF;
∵∠BPF=∠BCD=60°,∠PBF=∠CBD,
∴△BPF∽△BCD.
如圖(3),同理可證△BPF∽△EBF,△BPF∽△BCD;
(3)當(dāng)BD平分∠ABC時(shí),PF=PE,
理由:∵BD平分∠ABC,∴∠ABP=∠PBF=30°.
∵∠BPF=60°,∴∠BFP=90°.
∴PF=PB
又∵∠BEF=60°30°=30°=∠ABP,
∴PB=PE.
∴PF=PE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下面材料:
學(xué)習(xí)函數(shù)知識后,對于一些特殊的不等式,我們可以借助函數(shù)圖象來求出它的解集,例如求不等式x﹣3>的解集,我們可以在同一坐標(biāo)系中,畫出直線y1=x﹣3與函數(shù)y2=的圖象(如圖1),觀察圖象可知:它們交于點(diǎn)A(﹣1,﹣4),B(4,1).當(dāng)﹣1<x<0,或x>4時(shí),y1>y2,即不等式x﹣3>的解集為﹣1<x<0,或x>4.
小東根據(jù)學(xué)習(xí)以上知識的經(jīng)驗(yàn),對求不等式x3+3x2﹣x﹣3>0的解集進(jìn)行了探究.下面是小東的探究過程,請補(bǔ)充完整:
(1)將不等式按條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化:當(dāng)x=0時(shí),原不等式不成立;x>0時(shí),原不等式轉(zhuǎn)化為x2+3x﹣1>;當(dāng)x<0時(shí),原不等式轉(zhuǎn)化為______;
(2)構(gòu)造函數(shù),畫出圖象:設(shè)y3=x2+3x﹣1,y4=,在同一坐標(biāo)系(圖2)中分別畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象.
(3)借助圖象,寫出解集:觀察所畫兩個(gè)函數(shù)的圖象,確定兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo),結(jié)合(1)的討論結(jié)果,可知:不等式x3+3x2﹣x﹣3>0的解集為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知在△ABC中,點(diǎn)D、點(diǎn)E在BC邊上,且.
(1)求證:△ABD∽△CBA.
(2)若△ACE∽△BCA,判定△ADE的形狀,并說明理由;
(3)在(1)和(2)的條件下,若tan∠ADC=2,DE=6,請求出AE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題:如圖1,△ABC中,AB=a,∠ACB=α.如何用直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)P,均使得∠APB=α?(不需解答)
嘗試:如圖2,△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°.
(1)請用直角三角尺(僅可畫直角或直線)在圖2中畫出一個(gè)點(diǎn)P,使得∠APB=45°
(2)如圖3,若AC=BC=,以點(diǎn)A為原點(diǎn),直線AB為x軸,過點(diǎn)A垂直于AB的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線y=(b≥0)交x軸于點(diǎn)M,交y軸與點(diǎn)N.
①當(dāng)b=7+時(shí),請僅用圓規(guī)在射線MN上作出點(diǎn)P,使得∠APB=45°;
②請直接寫出射線MN上使得∠APB=45°或∠APB=135°時(shí)點(diǎn)P的個(gè)數(shù)及相應(yīng)的b的取值范圍;
③應(yīng)用:如圖4,△ABC中,AB=a,∠ACB=α,請用直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)P,使得∠APB=α,且AP+BP最大,請簡要說明理由.(不寫作法,保留作圖痕跡)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:△ABC在直角坐標(biāo)平面內(nèi),三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長是一個(gè)單位長度).
(1)畫出△ABC向下平移4個(gè)單位長度得到的△A1B1C1,點(diǎn)C1的坐標(biāo)是 ;
(2)以點(diǎn)B為位似中心,在網(wǎng)格內(nèi)畫出△A2B2C2,使△A2B2C2與△ABC位似,且位似比為2:1,點(diǎn)C2的坐標(biāo)是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點(diǎn),的邊垂直于軸、垂足為點(diǎn),反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過的中點(diǎn)、且與相交于點(diǎn).經(jīng)過、兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為,若點(diǎn)的坐標(biāo)為,.且.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)在直線上有一點(diǎn),的面積等于.求滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)請觀察圖象直接寫出不等式的解集.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】商場銷售某種冰箱,該種冰箱每臺進(jìn)價(jià)為2500元,已知原銷售價(jià)為每臺2900元時(shí),平均每天能售出8臺.若在原銷售價(jià)的基礎(chǔ)上每臺降價(jià)50元,則平均每天可多售出4臺.設(shè)每臺冰箱的實(shí)際售價(jià)比原銷售價(jià)降低了元.
(1)填表:
每天的銷售量/臺 | 每臺銷售利潤/元 | |
降價(jià)前 | 8 | 400 |
降價(jià)后 |
(2)商場為使這種冰箱平均每天的銷售利潤達(dá)到最大時(shí),則每臺冰箱的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】菱形中,,,點(diǎn)是對角線所在直線上一點(diǎn),且,直線交直線于點(diǎn),則____________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=x2+bx+c過A,B,C三點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,-3),動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上.
(1)b =_________,c =_________,點(diǎn)B的坐標(biāo)為_____________;(直接填寫結(jié)果)
(2)是否存在點(diǎn)P,使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
(3)過動(dòng)點(diǎn)P作PE垂直y軸于點(diǎn)E,交直線AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作x軸的垂線.垂足為F,連接EF,當(dāng)線段EF的長度最短時(shí),求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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