Question

【題目】（題文）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y=﹣x+2與坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BD∥x軸，拋物線(xiàn)y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)B，D兩點(diǎn)，且對(duì)稱(chēng)軸為x=2，設(shè)x軸上一動(dòng)點(diǎn)P（n，0），過(guò)點(diǎn)P分別作直線(xiàn)BD，AB的垂線(xiàn)，垂足分別為M，N．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）設(shè)四邊形ABCD的面積為S四邊形ABCD，當(dāng)n為何值時(shí)，=；

（3）是否存在點(diǎn)P（n，0），使得△PMN為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+2，（2，4）；（2）當(dāng)n=﹣2或n=6時(shí)，=；（3）存在P（﹣2，0）

【解析】

（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸公式以及點(diǎn)坐標(biāo)，構(gòu)建方程組即可解決問(wèn)題；

（2）分兩種情形分別構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；

（3）分三種情形：①，②，③，分別求解解決問(wèn)題.

（1）當(dāng)x=0時(shí)，直線(xiàn)y=﹣x+2=2，即B（0，2）

當(dāng)y=0時(shí)，﹣x+2=0，解得x=2，即A（2，0），

將B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，對(duì)稱(chēng)軸，得

，

解得，

拋物線(xiàn)的解析式為y=﹣x2+2x+2，

當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣×22+2×2+2=4，

頂點(diǎn)坐標(biāo)（2，4）；

（2）如圖1，過(guò)N作NH⊥x軸于H，

∵BD∥x軸，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x=2，連接AC，則AC⊥BD，

∴S四邊形ABCD=×4×4=8，

∵=，

∴S△PMN=2，又∵N在直線(xiàn)y=﹣x+2上，

∴∠NPH=45°，且S△PMN=PHPM，

∵BD∥x軸，

∴PM=2，當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)右側(cè)時(shí)，2+PH=n，即PH=，

∴S△PMN=PHPM=××2=2解得n=6；

當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，2﹣PH=n，即PH=，

∴S△PMN=PHPM=××2=2，解得n=﹣2，

綜上所述，當(dāng)n=﹣2或n=6時(shí)， =；

（3）存在．①如圖 2，當(dāng)PM=PN時(shí)，

∵PN=PM=2，PH=，n=2，

∴p（2+2，0）或P（2﹣2，0）；

②如圖3，當(dāng)MN=PN時(shí)，

∵M(jìn)N⊥PN，

∴△PMN是等腰直角三角形，且PM=2，

∴PN=，

∴P（0，0）；

③當(dāng)PM=MN時(shí)，

∵M(jìn)N=PM=2，MN⊥PM，

∴△PMN是等腰直角三角形，

∴MB=2，∴P（﹣2，0）．